Niveau Reprise d'études

PGCD U(n+1), U(n)

Posté par
Pixy37 14-11-21 à 08:18

Bonjour,

Voici l'énoncé du problème.
Pour $n \in \mathbb{N}$ on considère la suite définie par $U_{n}=5^n + 6^n$ . Calculer $PGCD(U_{n+1} , U_n)$ .

Je sens bien que $U_{n+1}$ et $U_{n}$ sont premiers entre eux. Pour n=0 on a bien $11\wedge 2= 1$ .

J'ai essayé d'utiliser l'algorithme D'Euclide. En supposant $n\geq 1$ j'arrive à :

$U_{n+1} = 5U_n + 6^n$ et $0\leq 6^n < U_n$
$U_n = 1 \times 6^n + 5^n$ et $0\leq 5^n < 6^n$

Finalement j'arrive à $U_{n+1} \wedge U_n = 6^n \wedge 5^n$ et à partir de là je bloque. Je sens bien aussi que ces deux nombres sont premiers entre eux mais je n'arrive pas à le prouver.
J'ai essayé de transformer $6^n$ en $(5 + 1)^n$ et utiliser la formule du binôme pour faire apparaitre du $5^{n-k}$ mais ça ne sert à rien. Je me suis aussi dit que le PGCD devait diviser $6^n - 5^n$ qui semble renvoyer un nombre premier... Bref, des voies sans issues (pour moi du moins).

Je demande donc humblement votre aide et vos conseils avisés.

Mercie d'avance !

Posté par re : PGCD U(n+1), U(n) 14-11-21 à 08:33

Bonjour Pixy37,

À partir du moment où tu montres que le pgcd est un diviseur de 6^n et 5^n, c'est gagné

Tu en connais beaucoup toi des diviseurs communs à ces deux nombres? Penses au théorème fondamental de l'arithmétique

Posté par re : PGCD U(n+1), U(n) 14-11-21 à 08:34

Bonsoir

Pour prouver que 6^n et 5^n sont premiers entre eux, il suffit d'exhiber leurs décompositions en facteurs premiers, et on constate qu'ils n'ont aucun facteur premier en commun

Posté par re : PGCD U(n+1), U(n) 14-11-21 à 08:43

Pfff, la honte...
Oui, $6^n = 2^n3^n$ qui n'a aucun facteur premier commun avec $5^n$ donc $6^n \wedge 5^n = 1$ = $U_{n+1} \wedge U_n$

Merci pour vos réponses !