Bonjour ;

on peut considérer les matrices (par blocs) de :

, et

il est alors facile de vérifier que est inversible dans avec et que

finalement et étant semblables dans elles ont même polynôme caractéristique _{sauf erreur bien entendu}

je t'avoues que ce n'est pas à ça que je pensais, et c'est bien vu pour les matrices que tu considères...
la solution que j'avais à proposer était la suivante :
si A et B sont inversibles,  _AB(x)=det[A(B-xA^-1)]=det[A(BA-xI_n)A^-1]
on développe ça en : _AB(x)=det(A).det(BA-xI_n).det(A^-1)=det(BA-xI_n)=_BA(x)
le résultat est donc prouvé pour A et B inversibles
ensuite, on considère l'application de M_n(K)M_n(K) dans K[x] : (A,B) -> _AB(x) - _BA(x)
cette application est continue car le déterminant l'est et elle est nulle sur l'ensemble des matrices inversibles, qui est dense dans l'ensemble des matrices. Elle est donc nulle partout, soit _AB=_BA pour tout A B dans M_n(K). un peu plus long que toi quand même

Bonjour

>Xphile Tu utilises la densité qui est une propriété topologique valable essentiellement dans R ou C. la démonstration d'elhor (que je salue ) est valable dans n'importe quel corps.

oui c'est tout à fait juste et j'aurais dû préciser que K=R ou C, j'ai omis cette précision essentielle car malheureusement en filière PC on ne se trouve guère confronté à d'autres ensembles en matière de calcul matriciel . cela dit merci de me le préciser, j'y ferais attention à l'avenir

Salut Camélia

Bonjour à tous,

Dans la démonstration de Xphile on peut se passer de l'argument topologique quand le corps K est infini.
On montre d'abord pour A inversible.
Si A n'est pas inversible il existe une infinité de y dans K tels que est inversible (car le polynôme n'a qu'un nombre fini de racines).
On a alors pour ces y: .
Comme ce polynôme en y s'annule une infinité de fois, c'est le polynôme nul et pour y=0 on obtient .