bonjour à tous
voici un petit exercice classique ayant plusieurs solutions, la plus courte étant la plus jolie
démontrer que pour toutes matrices A et B de Mn(K) on a égalité entre le polynôme caractéristique de AB et celui de BA
Bonjour ;
on peut considérer les matrices (par blocs) de :
, et
il est alors facile de vérifier que est inversible dans avec et que
finalement et étant semblables dans elles ont même polynôme caractéristique sauf erreur bien entendu
je t'avoues que ce n'est pas à ça que je pensais, et c'est bien vu pour les matrices que tu considères...
la solution que j'avais à proposer était la suivante :
si A et B sont inversibles, AB(x)=det[A(B-xA-1)]=det[A(BA-xIn)A-1]
on développe ça en : AB(x)=det(A).det(BA-xIn).det(A-1)=det(BA-xIn)=BA(x)
le résultat est donc prouvé pour A et B inversibles
ensuite, on considère l'application de Mn(K)Mn(K) dans K[x] : (A,B) -> AB(x) - BA(x)
cette application est continue car le déterminant l'est et elle est nulle sur l'ensemble des matrices inversibles, qui est dense dans l'ensemble des matrices. Elle est donc nulle partout, soit AB=BA pour tout A B dans Mn(K). un peu plus long que toi quand même
Bonjour
>Xphile Tu utilises la densité qui est une propriété topologique valable essentiellement dans R ou C. la démonstration d'elhor (que je salue ) est valable dans n'importe quel corps.
oui c'est tout à fait juste et j'aurais dû préciser que K=R ou C, j'ai omis cette précision essentielle car malheureusement en filière PC on ne se trouve guère confronté à d'autres ensembles en matière de calcul matriciel . cela dit merci de me le préciser, j'y ferais attention à l'avenir
Bonjour à tous,
Dans la démonstration de Xphile on peut se passer de l'argument topologique quand le corps K est infini.
On montre d'abord pour A inversible.
Si A n'est pas inversible il existe une infinité de y dans K tels que est inversible (car le polynôme n'a qu'un nombre fini de racines).
On a alors pour ces y: .
Comme ce polynôme en y s'annule une infinité de fois, c'est le polynôme nul et pour y=0 on obtient .
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