Bonjour,
Voilà j'ai cet énoncé et je bloque déjà à la première question:
On fixe un entier n supérieur ou égal à 1 et on note n-1[X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus n-1.
Dans tous mon DM on se propose d'étudier les couples (Fn,Gn) de polynômes vérifiant:
(Pn) ((1-X)^n)Fn+(X^n)Gn=1 avec Fn et Gn appartenant à n-1[X)]
Et la première question est donc : Déduire du développement de ((1-X)+X)^(2n-1) l'existence d'un couple (Fn, Gn ) solution e (Pn)
Alors je sais que c'est égal à 1 mais je ne sais pas si je doi me servir de ça... j'arrive à montrer que ((1-X)+X)^2n=1 mais je ne sais pas quoi faire ensuite est-ce que je doit passer par la ou non ? merci d'avance
Merci
Donc on obtient: ((1-X)+X)^(2n-1)=(2n-1 k) (1-X)^k (X)^(2n-1-k) avec k allant de 0 à 2n-1.
Mais ensuite est-ce qu'il faut faire un changement de variable pour obtenir ce que l'on veut? svp
J'obtient en factorisant dans le deuxième terme:
((1-X)+X)^(2n-1)=(2n-1 k) (1-X)^k (X)^(n-k) (X)^(n-1)
je cherche pour après...
Je suis dsl je n'ai pas compris... Je crois que je n'ai en fait pas compris la forme qu'on devait obtenir à la fin
Tu dois obtenir (1-X)^n Fn+X^nGn=1 avec Fn et Gn de degré plus petit que n-1.*
L'idée est d'utiliser que (1-X+X)^2n-1=1 et en développant on fait apparaitre des termes de la forme (1-X)^n * polynomes de degré <=n-1 et de même avec X^n.
Merci
J'ai encore un problème parceque quand je développe le binôme de Newton j'obtiens (1-X)^k et je ne peut pas factoriser par (1-X)^n ...donc je ne comprends pas
Ecris en détail tu vas voir apparaitre le (1-X)^n, il faut pas factoriser brutalement mais séparer certains termes comme je te l'ai indiqué au dessus.
On obtient donc d'abord l'addition de deux sommes , une variant de k à n et l'autre variant de n+1 à 2n-1 c'est ça? svp
Par contre dans celle où je dois factoriser par (1-X)^n il faut que je fasse un changement de variable pour exprimer k en fonction de n et pour que k varit de 0 à n-2 non ?
terme à terme j'obtient (2n-1 n+1)(1-X)^(n+1) X ^(n-2)+.....+(1-X)^(n+n-1) il faut donc écrire:
(1-X)^n (2n-1 n+1)(1-X)^k (X)^n-1-k avec k allant de 1 à n-1 et donc
(1-X)^n ((1-X)+X)^(n-1) c'est cela ?
Dsl si c'est pas très clair
Mais je n'arrive pas à transformer la combinaison ( 2n-1 n+1) et le fait que k commence à 1 je crois que c'est pas bon
La combinaison n'y touche pas c'est juste un coefficient.
Oui donc la tu as bien (1-X)^n * polynome de degré <=n-1.
Tu traites pareil l'autre somme et c'est bon.
Pour l'autre c'est bon elle était plus directe mais comment ça se fait que l'on ait pas besoin de changer la combinaison ? car en cours le prof s'arrange toujours pour retomber sur la formule du polynôme pour pouvoir retrouver le binome de newton ....Et pour le fait que k commence à 1 c'est un problème aussi pour retrouver le binome de Newton ? non
Je comprend pas le problème k varie au départ de 0 à 2n-1 et on sépare en deux sommes pour obtenir le résultat demandé.
Le problème ce n'est pas au début mais lorsqu'on sort (1-X)^n la somme par laquelle elle est multipliée varie de 1 à n-1 pour ce que j'ai trouvé
C'est pas grave, le seul truc important à vérifier c'est que ca te donne bien un polynome de degré <=n-1.
Ah d'accord donc à la toute fin je trouve :
(1-X)^n ((1-X)+X)^(n-1) + (X)^n ((1-X)+X)^(n-1)=1
Vous croyez que c'est normal si on trouve deux fois le même polynome ?
Ah c'est impossible ?
C'est pour ça que je ne comprenais pas je croyais qu' à la fin on fesait la somme dans l'autre sens donc j'essayai de retrouver le polynôme. Je m'embrouille
Humm dans ton message de 15h36, tu as écrit (1-X)^n * une somme et cette somme c'est le polynome F_n qu'on cherche, Gn c'est la somme sur les autres indices.
Non mais quand k varie de 0 à n-1 tu peux factoriser par X^n comme tu as factorisé par (1-X)^n pour k variant de n à 2n-1.
oui c'est ce que j'avais fais et j'obtenais:
X^n (2n-1 k)(1-X)^k (X)^(n-1-k)
Et j'avais directement mis que cétait égal à : X^n ((1-X)X)^(n-1) et je crois que c'est là mon erreur
Ah non tu peux pas simplifier comme ça, enfin on te demande pas a priori de simplifier tes polynomes ils existent que demander de plus
Ah d'accord donc je laisse sous forme de somme merci beaucoup pour votre aide alors pour cette première question
Excusez moi encore mais dans la suite de l'exercice on me demande d'expliciter F1, F2 et F3 je remplace n par 1 etc dans la somme trouvée précédemment ?
j'ai un nouveau problème, dans le post 15:36 si je remplace n par 1 on trouve une combinaison impossible (1 2)donc il y a une erreur...
Et donc on ne se sert pas de la combinaison ? J'ai vraiment du mal avec ces sommes je n'ai jamais vraiment tout compris...
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