ce corps ne contient que deux éléments, équivalents à 0 et 1,l'opposé de 1 et 1 (et pas -1)
P(0)=0
P(1)=1+1=0
la fonction polynomiale est nulle
mais le polynôme n'est pas le polynôme nul
il est équivalent au vecteur (0,1,1) sur la base canonique (1,x,x²)

Bonjour,

La fonction polynomiale associée à P est définie sur quel ensemble ?
Il contient beaucoup d'éléments ou pas ?

merci pour ta réponse dhalte mais pour etre honnete je n'ai absolument rien compris avec les histoire de 0 et 1 ainsi que cette histoire d'opposé
je suis désolé

pour porcepic l'ensemble de définie n'est pas énoncé dans l'exercice
merci

Si, elle est énoncée dans l'exercice : comme , la fonction polynomiale associée à P est définie sur .

Et quels sont les éléments de cet ensemble, justement...

Salut,sauf erreur de ma part, je proposerai celà:

.
1)
  

2), X et X+1 ne sont pas nuls sur K[X] (qui est intègre car 2 est premier donc \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} est un corps donc intègre) donc P n'est pas nul.

merci pour vos réponse j'ai compris ta démarche mais à quoi correspond la barre à une grandeur algébrique je n'ai pas vu cette notation

je suis d accord avec toi comme 2 premier Z/2Z est integre ok mais qu es qui nous prouve que x et x+1 ne sont pas nul ?

Les barres, c'est pour désigner les classes d'équivalence (mais vu qu'ici il n'y a pas trop d'ambiguïté on peut éventuellement les omettre).

Pour montrer que P n'est pas nul, il s'agit essentiellement de dire que dans Z/2Z, 1 est non nul... ce qui est en effet le cas.

si tu préfères tu peux noter , et ...mais c'est plus lourd. Ainsi est la classe d'équivalence de 1 modulo 2.

n'est pas nul car dans Z/2Z, et n'est pas nul car .(Ce que j'ai fait c'est evaluer en et en ).

je soumets à nouveau ma proposition d'explication du tout début de ce topic polynomes encore

ce corps ne contient que deux éléments, équivalents à 0 et 1, l'opposé de 1 et 1 (et pas -1)

il faut d'abord que leritale3801 comprenne ce qu'est

Mais il faut bien comprendre qu'ici tu travailles dans Z/2Z et non dans Z. Si tu n'as jamais vu la notation avec la barre, je te conseille si tu as le temps de lire un cours d'arithmétique/Algèbre sur l'anneau Z/nZ.

ok merci pour tout je crois avoir compris et donc 1+1=0 car on arrive a 2 +4Z qui est donc divisible par 2 donc on écrie  1+1=0

c'est ca ?.

oui je suis d'accord avec toi dhalte, car si c'est nouveau, ce n'est pas forcément évident à comprendre...

c bon j'ai piger le truc merci bcp si on avais était dans z/3z on aurait travaillé avec 0 1 et 2 ?

en faite c'est la notation qui me perturbe je ne vois pas vraiment  à quoi cela correspond quand on parle de Z/nZ

Oui, vu que quand on travaille sur Z/nZ, on associe à chaque entier sa classe d'équivalence qui est son reste dans la division euclidienne par n.

Autrement dit, dans Z/3Z, les classes d'équivalence sont les restes de la division euclidienne par 3, qui ne peuvent être en effet que 0, 1 et 2.

Si tu commences à voir ça, mets bien les barres à chaque fois que tu parles d'une classe d'équivalence, l'histoire de bien prendre conscience que les objets avec lesquels tu travailles ne sont pas les entiers 0, 1 et 2 à proprement parler.
Dans Z/2Z par exemple, écrire est correct, est un abus qu'on s'autorise (mais à condition de bien comprendre que d'un côté, le 15 désigne l'entier de Z, de l'autre, le 1 désigne une classe d'équivalence dans Z/2Z...).

et pour Z/4Z on prend juste 0 ,1 j'ai piger le truc ?? je crois avoir piger le truc merci encore pour tout : )

non on n'arrive pas à 2+4Z.
En fait, sans refaire tout le cours sur Z/nZ voici ce que je propose (c'est certainement à compléter):Soit alors on a:
avec .
La notation avec la barre s'appelle la classe d'équivalence de a modulo n, mais imaginons que l'on travaille dans avec m et n des entiers naturels différents, alors la notation barre devient ambigue, et il par exemple préférable de noter la classe d'équivalence de a modulo n et la classe d'équivalence de a modulo m.
Revenons dans ,( pour reprendre la notation avec la barre qui est moins lourde, mais comme on vient de le dire tu peux aussi noter au lieu de ...mais tu te rendra compte par toi même que c'est pénible à écrire!), il y'a deux résultats importants à connaitre lorsque tu calcules dans c'est que la somme des classe c'est la classe de la somme et que le produit des classe c'est la classe des produits, autrement dit : et .
Pour finir, il faut connaitre l'équivalence suivante absoluement : .

Ainsi ici . Or car d'où .

(en complément de ce qu'à dit Porcepic)