Bonjour,
j'ai un problème avec cet exercice :

Soit n € N. Soit f l'application qui à tout P de R_n associe P(X+1)+X.P'(X).

1) Montrer que f est un endomorphisme de R_n[X]. => Ok.
2) Exprimer f(X^k), k=0..n. Quel est le degré de f(X^k) ? => Ok.
3) Montrer que (f(1),...,f(Xⁿ)) est une base de R_n[X]. =>
Je sais que que f(1)=f(X⁰), donc f(X^k), avec k=0. Et qu'ensuite on prend chaque valeur de k. On connait donc le degré de chaque élément qui doit former la base. Mais je ne sais pas comment le démontrer.
4) f est-elle une bijection ? => En utilisant la question précédente, mais je ne sais plus trop comment faire...

Dans la suite de l'exercice, n=2.
On définit E₀, E₁ et E₂ par :
E₀=1
E'₁=E₀, E₁(1)=2E₁(0)
E'₂=E₁, E₂(1)=3E₂(0).
5) Explicitez E₁ et E₂ => je n'y arrive pas du tout.

Les 4 dernières questions reposent sur celle-ci, et j'arriverais à y répondre.

Pourriez-vous m'aider pour les questions 3, 4 et 5, merci.