Bonjour,
j'ai un problème avec cet exercice :
Soit n € N. Soit f l'application qui à tout P de Rn associe P(X+1)+X.P'(X).
1) Montrer que f est un endomorphisme de Rn[X]. => Ok.
2) Exprimer f(Xk), k=0..n. Quel est le degré de f(Xk) ? => Ok.
3) Montrer que (f(1),...,f(Xn)) est une base de Rn[X]. =>
Je sais que que f(1)=f(X0), donc f(Xk), avec k=0. Et qu'ensuite on prend chaque valeur de k. On connait donc le degré de chaque élément qui doit former la base. Mais je ne sais pas comment le démontrer.
4) f est-elle une bijection ? => En utilisant la question précédente, mais je ne sais plus trop comment faire...
Dans la suite de l'exercice, n=2.
On définit E0, E1 et E2 par :
E0=1
E'1=E0, E1(1)=2E1(0)
E'2=E1, E2(1)=3E2(0).
5) Explicitez E1 et E2 => je n'y arrive pas du tout.
Les 4 dernières questions reposent sur celle-ci, et j'arriverais à y répondre.
Pourriez-vous m'aider pour les questions 3, 4 et 5, merci.
Bonjour
Tu as sûrement vu que deg(f(Xk)=k et c'est un résultat connu que n+1 polynômes de degrés distincts forment une base de Rn[X].
Enfin: E'1=1 entraine E1=X+a et E1(1)=2E1(0) devient 1+a=2a ce qui permet de calculer a. Je te laisse continuer...
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