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polynômes et fonctions trigonométriques
Posté par pppa
Bonjour
je dois déterminer les conditions que doivent remplir les polynômes P et Q pour que l'égalité (identité)
soit identiquement nulle.
Identiquement nulle, ça signifie - si j'ai bien compris - que quelle que soit la valeur attribuée à , le membre de gauche de l'égalité vaut 0.
Donc j'oublie mon premier réflexe qui consistait à considérer
, en supposant P(x) = Q(x) ou
et P(x) = - Q(x).
En me concentrant sur les polynômes P et Q, hormis le cas trivial où P = Q = O, je ne vois pas comment répondre de façon exhaustive à la question.
Merci d'avance aux personnes qui voudront m'aider.
Je n'ai pas précisé, mais en fait on commence par supposer qu'il existe un couple P, Q qui vérifie bien l'identité. Ensuite, on évalue pour les valeurs de x où sin(x) est nul. Ca s'appelle un raisonnement par analyse-synthèse
>> Zormuche
bonsoir et merci pour ton intervention.
Si j'ai bien compris à quoi ta suggestion veut me faire aboutir, alors en faisant la supposition que tu indiques, propre au raisonnement analyse-synthèse (que je ne connaissais pas...), je pose :
Conditions sur P :
Conditions sur Q :
Qu'en dis-tu ?
Oui. On a démontré que si (P, Q) est un couple vérifiant l'identité, alors P(pi/2+k*pi) = 0 pour tout k, et Q(0+k*pi) = 0 pour tout k.
Donc ces polynômes ont une infinité de racines distinctes
Donc ?
Eh bien, je crois savoir que le seul polynôme qui a une infinité de racines est O, le polynôme nul.
Si c'est bien la conclusion, on en reviendrait au cas trivial que j'évoquais dans mon premier message, sauf que je pensais que P et Q devaient être nuls simultanément. Là, en respectant les conditions qui leurs sont demandées sur la valeur de l'indéterminée, un des polynômes peut être nul sans que l'autre le soit
Est-ce bien cela ?
Non, je crois que tu n'as pas bien compris le sens du raisonnement
On vient de montrer que si P et Q sont deux polynômes vérifiant l'identité, alors P et Q sont tous les deux nuls
Maintenant, pour la bonne forme, il faut vérifier que (P=0, Q=0) est bien une solution de l'identité, ce qui est trivial
On aura alors montré :
Oui, effectivement, les deux polynômes doivent être nuls, indépendamment du fait que l'analyse a nécessité de trouver des valeurs distinctes de l'indéterminée pour P et Q ; mais comme dans les deux cas, on leur trouve une infinité de racines, tous les deux sont nuls.
Intéressant comme cas, surtout lorsque l'on ne connaît (connaissait) pas ce mode de raisonnement.
Encore merci pour ton intervention.
