Niveau Reprise d'études

polynômes et récurrence

Posté par
pppa 28-12-23 à 23:48

Bonjour

je bute sur la démonstration de l'hérédité de la divisibilité du polynôme suivant :

Montrer par récurrence sur $n$ que le polynôme $P_n = (x-1)^{n+2} + x^{2n+1}$ est divisible par $x^2 - x +1$

L'amorce pour $n = 0$ est triviale

Comme hypothèse de récurrence, ja pars de :
Si $x^2 - x +1$ | $P_{n-1}$ , alors il existe un polynôme $Q$ tel que $P_{n-1} = (x^2 - x +1).Q(x)$
mais je n'arrive pas à en déduire que la propriété est vraie pour $P_n$ .

Ayant fait des tests sur $P_1, P_2, P_3$ , il semble qu'on ne puisse pas multiplier $Q(x)$ par un autre polynôme tout en conservant le facteur $x^2 - x +1$ .

Quant au développement du binôme de Newton sur $(x-1)^{n+1}$ , (pour $P_{n-1}$ ), avec le deuxième terme $x^{2n-1}$ , je ne vois pas comment avancer non plus.

Merci par avance si vous pouvez m'aider.

Posté par re : polynômes et récurrence 29-12-23 à 00:22

salut

on suppose P(n) vraie pour un entier n donc $P_n(x) = (x^2 - x + 1) Q_n(x)$

$P_{n + 1} (x) = (x - 1)^{n + 3} + x^{2n + 3} = (x - 1) [(x - 1)^{n + 2} + x^{2n + 1}] - (x - 1)x^{2n + 1} + x^{2n + 3} = (x - 1)P_n(x) + x^{2n + 1}(x^2 - x + 1)$

il ne reste plus qu'à récurer ...