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Niveau Maths sup
Principe de récurrence simple
Posté par jelneb
Bonsoir,
Mon exercice s'énonce comme suit :
Soit P(n) un prédicat qui dépend de n€N,on suppose que :
-P(0) est vraie
-Pour tout n€N, (P(n) vraie implique P(n+1) vrai)
Alors : pour tout n€N, P(n) est vraie.
On pose alors A={n€N, P(n) est vraie}, montrer que A=N et conclure le principe de récurrence simple.
En effet je ne vois aucune approche logique qui m'aiderait à démontrer cette égalité en utilisant la récurrence.
Bonjour 
Une idée :
On peut montrer que en montrant que
.
Raisonner par l'absurde en supposant que
et utiliser (pour aboutir à une absurdité) une propriété fondamentale de l'ensemble des entiers naturels ...
Si tu supposes que l'ensemble que t'a indiqué elhor_abdelali est non vide, tu peux t'intéresser à son inf
Bonsoir,
Il me semble que votre énoncé :
Citation :
soit P(n) un prédicat qui dépend de n€N,on suppose que :
-P(0) est vraie
-Pour tout n€N, (P(n) vraie implique P(n+1) vrai)
Alors : pour tout n€N, P(n) est vraie.
soit P(n) un prédicat qui dépend de n€N,on suppose que :
-P(0) est vraie
-Pour tout n€N, (P(n) vraie implique P(n+1) vrai)
Alors : pour tout n€N, P(n) est vraie.
Entraine bien que A =
non ?Petite remarque, mon exercice est formé de deux parties.
La première partie avait aussi pour but de démontrer que A=N, en utilisant le résonnement par absurde (utilisation de l'inf comme vous aviez dit), l'ensemble A dans la partie 1 était définit comme suit :
0€A
n€A implique n+1 €A
co11 @ 01-10-2022 à 20:42
Bonsoir,
Il me semble que votre énoncé :
Entraine bien que A = non ?
Comment expliciter cela ? Bonsoir,
Il me semble que votre énoncé :
Citation :
soit P(n) un prédicat qui dépend de n€N,on suppose que :
-P(0) est vraie
-Pour tout n€N, (P(n) vraie implique P(n+1) vrai)
Alors : pour tout n€N, P(n) est vraie.
soit P(n) un prédicat qui dépend de n€N,on suppose que :
-P(0) est vraie
-Pour tout n€N, (P(n) vraie implique P(n+1) vrai)
Alors : pour tout n€N, P(n) est vraie.
Entraine bien que A =
non ?La propriété fondamentale de l'ensemble des entiers naturels à utiliser est la suivante :
Toute partie non vide de admet un plus petit élément.
Supposons par l'absurde que l'ensemble est non vide.
Cet ensemble va donc admettre un plus petit élément .
Comme est fausse et
est vraie (par hypothèse) on a nécessairement
.
Comme on a
vraie.
Et comme l'implication : vraie
vraie
est supposée (par hypothèse) vérifiée pour tout entier naturel
,
elle est vérifiée en particulier pour , et donc
est vraie.
D'où l'absurdité. 
sauf erreur de ma part bien entendu