|a|n tend vers 0 donc ta lim est 1/2
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Niveau Maths sup
[Proba] Menteurs
Posté par Fooooo
Bonjour,
Je bloque sur un exo de proba.
On a n menteurs M1, M2,...,Mn. Le menteur reçoit la réponse "oui" ou "non" à une question. Il transmet l'information à M2 pour ensuite arriver à Mn qui annonce la réponse. Chacun transmet ce qu'il a entendu avec la probabilité p (]0;1[) et le contraire avec la probabilité 1-p.
Pour tout k appartenant à {1,...,n-1}, on note pk la probabilité rendue par le menteur Mk soit la vérité.
1) Montrer que pour tout k appartenant à {1,...,n-1}, pk+1=(2p-1)pk+1-p
Je ne vois même pas comment démarrer :/ Des idées ?
Merci par avance.
bonjour
examine la réponse donnée par M(k+1) en fonction de celle transmise par M(k)
pour que M(k+1) transmette la vérité, on a deux cas possibles et disjoints :
Soit M(k) a transmis la vérité et M(k+1) a transmis fidélement
Soit M(k+1) a transmis une réponse fausse et M(k+1) a transmis "non-fidèlement"
M k+1 recoit l'information avec la prob de p k qu elle soit vraie et une prob de 1-p k qu elle soit fausse alors l information qu il rend sera vrai avec prob p* p k+ (1-p)(1-p k )[ bien sur s il ment de transmetre une info fausse elle rend une info vraie]
Je n'avais pas pensé à utiliser le fait que les évènements étaient disjoints, j'ai bien trouvé le résultat.
On me demande de trouver l'expression de pn en fonction de p et de n. J'ai pensé à utiliser le fait que la suite soit arithmético-géométrique.
Je trouve pn=(2p-1)n[(p-1)/2p]+(1-p)/2p
Correct ?
Arf :/
p0=1
et pn+1=pn(2p-1)+1-p donc de la forme pn+1=a*pn+b
Je cherche le point fixe et je trouve x=(1-p)/2p
Après on a pn-x=an(p0-x) et je tombe sur le résultat ci-dessus. Je me trompe où ? :/
pas d'accord avec la puissance : cela doit être n+1
et le terme complémentaire derrière me paraît bien compliqué !!!!!!!!
Le terme complémentaire vaut 1/2, j'ai tilté après.
Mais pour la puissance n+1 je ne comprends pas, dans mon cours j'ai bien la formule pn-x=an(p0-x)
ah le premier menteur est numéroté 1... ok
donc on a p(0)=1 puisqu'on communique la bonne réponse à M(1)
en fait il vaut mieux travailler avec p(1)=p, c'est plus clair
(moi j'avais pris M(0) pour le premier menteur !)
ok
donc ((2p-1)n + 1)/2
Ok merci 
Ensuite il faut déterminer la limite de pn quand n tend vers l'infini.
On a -1<2p-1<1 car 0<p<1
J'ai donc distingué trois cas :
* -1<2p-1<0 -> pas de limite
* 2p-1=0 -> lim(pn)=1
* 0<2p-1<1 -> lim(pn)=1/2
Je suis totalement à l'ouest ?
euh... il faudra revoir le concept de suite géométrique !!!!
si -1<q<1, alors qn
0 et pis c'est tout !!!!!!
dans tous les cas ta suite tend vers 1/2
ce fut un plaisir de t'aider
bonne fin de soirée