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Probabilité et loi de somme de V-A

Posté par
romaindu76000 02-11-09 à 19:57

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème concernant un exercice de proba, voici l'énoncé:

n personnes se répartissent dans trois wagon numéroté 1 , 2 , 3 , indépendamment les unes des autres avec équiprobabilité 1/3 , 1/3 , 1/3.
On note Ni la v.a. égale au nombre de personnes ayant choisi le wagon numéro i .

1) Déterminer la loi de N1. Quelle est la loi de N2 et de N3

2) Quelle relation satisfait la somme N1 + N2 ? En déduire la loi de la variable N1+N2+N3

==> Pour la 1) Les Ni suivent des lois binominales de paramètre n et p=1/3

==> Pour la 2) on peut dire que N1+N2+N3 = n mais après je ne vois pas par où continuer pour en déduire la loi de N2+N3

Merci beaucoup de me donner quelques indications

Posté par
PILre : Probabilité et loi de somme de V-A 02-11-09 à 20:36

Bonsoir,

La formulation de la question 2) est-elle correcte ?
Mais si tu cherches la loi de  N2 + N3  tu peux utiliser la relation  N1 + N2 + N3 = n  pour écrire N2 + N3 = n - N1, donc P(N2 + N3 = k) = P(n - N1 = k) = ... tu connais la loi de N1 !

Posté par
romaindu76000re : Probabilité et loi de somme de V-A 02-11-09 à 20:47

Je me suis trompé effectivement en recopiant, c'est bien la loi de N1+N2 qu'il faut déduire de la relation N1+N2+N3

Posté par
romaindu76000re : Probabilité et loi de somme de V-A 02-11-09 à 20:54

Pour conclure l'exo je trouve donc :

P(N1+N2 = k) = P(n - N3 = k) = p(N3 = n - k) d'où N1+N2 suit une loi binomiale (n-k , 1/3)

Est-ce juste?

Posté par
PILre : Probabilité et loi de somme de V-A 02-11-09 à 21:32

C'est bien une loi binomiale, maispas celle que tu proposes.  Tu as

3$\rm P(N1+N2 = k) = P(N3 = n-k) = \(n\\n-k\)(\frac{1}{3})^{n-k}(\frac{2}{3})^k = \(n\\k\)(\frac{2}{3})^k(\frac{1}{3})^{n-k}

Je te laisse conclure ...

Remarque que le résultat est naturel : si on réunit les 2 premiers wagons en un seul wagon, N1 + N2 est le nombre de personnes dans ce grand wagon; la probabilité qu'une personne y monte est 2/3, etc


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