Bonjour j'ai quelques problème de résolutions

Voici l'exercice:

Une Urne contient deux boules blanches et deux noires. On tire simultanément deux boules et on les remplace par deux noires .
on recommence alors les tirages de deux boules dans les mêmes conditions .

On note Dn la composition de l'urne à l'issue du n eme tirage .

On appelle A la composition : quatre boules noires
           B la composition: trois boules noires et une blanche
           C la composition : deux boules noires et deux blanches

Partie I : 1) Montrer par récurrence que pour n>=1, Dn ne peut être que de l' une des trois composition A B C

           2) On note An ( respectivement Bn et Cn ) l'évènement :
"La composition Dn de l'urne après le nieme tirage est de type A"

             On note an( respectivement bn et cn ) la probabilité de l'évenement An ( resp. Cn et Bn)

a) En utilisant la formule des probabilité totales, exprimer an+1 , bn+1, cn+1 en  fonction de an bn et cn

b) On pose : Xn = (an bn cn ) ( sous forme de vecteur) a0=b0=0 et c0=1
Montrer que quelque soit n >=0 , Xn+1= TXn où T est une matrice triangulaire diagonalisable puis en déduire que :
quelque soit n >= 0 Xn = T^n X indice 0

c) Diagonaliser T puis calculer Tn pour tout n>=0

d) En déduire que quelque soit n

an = 1-2(1/2)^n + (1/6)^n
bn= 2(1/2)^n-2(1/6)^n
cn= (1/6)^n

Réponses :

1) je n'ai pas réussi à faire la première question

2) a) an+1= P( An+1) = P(An+1An)+ P(An+1Bn) + P( An+1Cn) = 5/18 et idem pour bn et cn

   b) on pose la matrice T triangulaire : (a00
                                           0b0
                                           00c)
TXn= (an*a  = (an+1 ; bn+1 ; cn+1) = Xn+1 c'est un vecteur
      bn*b
      cn*c)


Après je ne vois pas comment faire la déduction peut être par récurrence mais c'est assez flou pour moi je l'avoue .

En tout cas merci pour votre aide