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Probabilité(Indépendance)

Posté par
sambgoree 25-12-09 à 12:50

Soit X une variable aléatoire réel tq X~N(0,1).
Donnez moi SVP une technique pour montrer que les v.a.r Sign(X) et |X| sont indépendantes!
Merci d'avance.

Posté par
sambgoreere : Probabilité(Indépendance) 25-12-09 à 12:51

Bonjour tout le monde!...Excusez moi.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilité(Indépendance) 25-12-09 à 16:39

Bonjour,

Avec des notions de Terminale...

Soit [a,b] un intervalle quelconque de R+.
Soit 3$\vareps = -1 ou +1.

Ne suffit-il pas de montrer que :
3$\mathbb{P}\left( \mathrm{sign}(X)=\vareps \;\mathrm{et}\; |X|\in[a;b] \right) \;=\; \mathbb{P}\left( \mathrm{sign}(X)=\vareps \right) \;\cdot\; \mathbb{P}\left( |X|\in[a;b] \right) ?

Nicolas

Posté par
sambgoreere : Probabilité(Indépendance) 25-12-09 à 17:31

Oui! c'est possible.
Par contre j'ai pensé entre temps à une methode (faisant intervenir les tribus)...Pouvez-vous me dire ce que vous en pensez SVP!!?
On sait que si f borélienne alors la tribu engendrée par f(X) est incluse dans celle engendrée par X.
D'autres part,sign(X) et X sont indépendantes "(j'ai du mal à le démontrer)".
conclusion sign(X) et f(X) sont indépendantes (avec f(x)=|x|..sauf erreur

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilité(Indépendance) 25-12-09 à 17:35

Je suis incompétent côté tribus.
Mais je serais bien étonné que le signe d'un réel soit indépendant de sa valeur.

Posté par
sambgoreere : Probabilité(Indépendance) 25-12-09 à 18:46

Soit Y\neq X peut-on dire que sgn(X)=sgn(Y)??
Si c'est le cas alors en choisissant Y indépendante de X on peut conclure que
sgn(X)=sgn(Y) et X sont indépendantes (car sgn est borélienne)....sauf erreur!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probabilité(Indépendance) 25-12-09 à 18:57

Borélien, je ne connais pas.
Mais je ne comprends pas ta première phrase.
Le fait que Y soit différent de X ne garantit pas qu'ils sont tous deux du même signe. Prends l'exemple de -2 et -3.

Posté par
stokastikre : Probabilité(Indépendance) 26-12-09 à 14:04

Tu peux vérifier que pour tout x>0, on a P(|X|>x |sgn(X)=1)=P(|X|>x) et de même P(|X|>x |sgn(X)=-1)=P(|X|>x).


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