Voilà un exercice qu'on nous a donné pour entrainement.
Le problème c'est que je n'arrive pas à mettre la main sur une correction.
Si une âme charitable pouvait m'aider à y voir plus clair...

énoncé :
On considère le jeu suivant : un joueur lance un dé (non truqué) jusqu'à obtenir un 2.
Le joueur perd 2 points à chaque lancer dont le résultat n'est pas 2, et gagne a points lorsqu'il obtient 2, où a est un entier positif fixé. On note X le nombre de lancers au cours d'une partie, et Y le nombre de points dont dispose le joueur en fin de partie (Y peut prendre des valeurs négatives). On suppose les lancers indépendants.

1. Soit x[0,1[
(a) Montrer que les suites de terme général nxⁿ et n²xⁿ convergent vers 0.

(b) Calculer ⁿ_k=1 kx^k-1 et ⁿ_k=1 k(k-1)x^k-2

(c) En déduire que _k=1 kx^k-1 = 1/(1-x)² et _k=1 k(k-1)x^k-2 = 2/(1-x)³.

2. (a) Déterminer la loi de X.
(b) Calculer E(X) et E[X(X-1)].
(c) En déduire la valeur de Var(X).

3. Exprimer Y en fonction de X et en déduire l'espérance et la variance de Y. Cette variance dépend-elle de a ? Commenter

4. Comment choisir a pour que le nombre moyen de points après une partie soit nul ? Déterminer pour cette valeur de a la probabilité que e nombre de points en fin de partie soit supérieur ou égal à 4, puis la probabilité qu'il soit négatif.

5. Le joueur réalise à présent n parties indépendantes. Déterminer l'espérance et la variance du nombre de points à l'issue de ces n parties.


Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'aider.