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probabilité, loi de poisson

Posté par
flaria 30-10-09 à 08:58

bonjour,
voici mon exercice
on dit que Y une variable aleatoire continue est de loi lognormale de parametre et² si la variable aléatoire suit une loinormal d'esperence et de variance ²
1/ exprimer la donction de repartition de Y en fonction de la loi normal centré reduite
2/caclcuer sa fonction de densité
3/calculer l'esperance et la variance


pour la premiere question j'ai trouvé P(( (X-)) / ( (ln(t) -)/) ) ce qui me donne une fonction de repartition
donc je prend cela et je la met dans ma formule de densité pour derivé( en remplacant x par (X-)/ ) et je n'y arrive pas, je bloque

merci de m'aider

Posté par
flariare : probabilité, loi de poisson 30-10-09 à 12:41

je me suis trompé c'est la loi normal centré reduite.
est ce que la fonction de repartition est

F= ( 1/(2)) * exp( (-1/2)*( (lent-)/ )²) dx

est-ce que c'est cette fonction qu'il faut que je derive pour obtenir la densité.
j'ai trouvé sur le net la densité qui doit etre egal à

f= 1/(t*(2)) exp ( (-1/2)*( (lent-)/ )²)

merci a ceux qui peuvent m'aider

Posté par
oliveirore : probabilité, loi de poisson 30-10-09 à 13:47

Salut,

j'ai l'impression que tu te compliques un peu trop la vie.

Y suit une log normale ssi ln(Y) = X avec X = N(,²), on pose également N = N(0,1)
FY(x) = P[Yx] = P[ln(Y)ln(x)] = P[Xln(x)] = P[N+ln(x)] = P[N(ln(x)-)/] = FN((ln(x)-)/)

Tu obtiens directement la loi de densité par changement de variable dans ton intégrale,
pour les moments, avec quelques astuces, tu peux t'en sortir sans trop de calculs.

++

Posté par
robby3re : probabilité, loi de poisson 30-10-09 à 13:58

Salut,
reprenons tout ça:

Soit 5$ \fbox{Y\sim \mathcal{N}(m\sigma^2)}

(je note 5$ m l'espérance.)5$ \fbox{\fbox{X=exp{Y}\sim \mathcal{L_N}(m,\sigma^2)}}

càd 5$ Y=ln(X)

je considère 5$ \red \fbox{\fbox{Z\sim \mathcal{N}(0,1)}}

alors 5$ \red \fbox{Y=m+\sigma.Z}

l'idée est de se ramener à la loi 5$ \mathcal{N}(0,1) pour calculer la densité de 5$ X:

5$ \rm F_X(x)=P(X\le x)=P(exp{Y}\le x)=P(Y\le ln(x))=P(m+\sigma.Z\le ln(x)) \\ =P(Z\le \frac{ln(x)-m}{\sigma})=\Bigint_{-\infty}^{\frac{ln(x)-m}{\sigma}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp{-\frac{t^2}{2}}dt \\
on dérive pour trouver la densité:

5$ \rm \blue \fbox{\fbox{\fbox{f_X(x)=F'_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}.exp{-\frac{\(\frac{ln(x)-m}{\sigma}^2\)}{2} si x>0 et 0 sinon.}}}

sauf erreurs.

Posté par
robby3re : probabilité, loi de poisson 30-10-09 à 13:59

ah bah décidément,je suis trop lent!!

Posté par
robby3re : probabilité, loi de poisson 30-10-09 à 14:04

je me rattrape:

pour l'espérance:

5$ \fbox{\fbox{E[X]=e^mE[e^{\sigma.Z]}}

Donc:
5$ \rm E[X]=e^m\Bigint_{\mathbb{R}} e^{\frac{\sigma^2}{2}} \frac{e^{-\frac{(z-\sigma)^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}dz \\ \\ =e^{\(m+\frac{\sigma^2}{2}\)}.\Bigint_{\mathbb{R}}\frac{e^{-\frac{(z-\sigma)^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}dz

et ce qu'il y a dans l'intégrale vaut 1, c'est la densité de 5$ Z\sim \mathcal{N}(0,1)

sauf distractions.

je laisse faire la variance!

Posté par
oliveirore : probabilité, loi de poisson 30-10-09 à 14:06

Salut Robby, c'est parce que j'en ai écrit moins que toi.

Posté par
flariare : probabilité, loi de poisson 30-10-09 à 14:59

desolé je ne comprend pas trop le calcul de l'esperance.
la formule est x f(x) dx
ici f(x) est la formule encadrer en bleu. ( dailleur le carré est mal placé non? il devrait pas etre a l'exterieur de la parenthese?)

Posté par
robby3re : probabilité, loi de poisson 30-10-09 à 15:03

Citation :
dailleur le carré est mal placé non? il devrait pas etre a l'exterieur de la parenthese?

désolé,faute de latex.

Citation :
desolé je ne comprend pas trop le calcul de l'esperance.

5$ \rm X=e^Y et Y=m+\sigma Z
c'est tout.

si tu veux calculer l'espérance via la densité de X,tu peux,mais je te laisse t'amuser avec...
la méthode que je te propose est celle à laquelle Oliveiro pensait également je crois, et c'est celle qui évite trop de calculs monstrueux...

Posté par
flariare : probabilité, loi de poisson 30-10-09 à 15:05

merci pour votre aide, et oui oui, j'essaye de m'amuser avec !!!

Posté par
robby3re : probabilité, loi de poisson 30-10-09 à 15:06

y'a pas de quoi!
A+

Posté par
flariare : probabilité, loi de poisson 02-11-09 à 11:56

je ne dois pas utiliser les moments dans cette exercice, comment faire? changement de variable? integration par partie? avez vous une astuce ?


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