Bonjour

Tu as lu ce que tu nous a envoyé ?

On effectue r lancés de boules numéros de 1 à r dans n urnes. Quel est la probabilité que l'urne 1 et l'urne 2 contiennent toutes les boules.

Comment veux-tu qu'on y comprenne qui que ce soit !

C'est tout simplement incompréhensible en français !  

Bonsoir Emphyy.

Tu peux modéliser ton problème de la façon suivante.
Le n-uplet représente chacune de tes urnes dans lesquelles il y a boules.
Donc, tu cherches tous les n-uplets de cette forme avec et donc .
Il y a donc r+1 possibilités d'avoir un tel cas de figure puisque équivaut à et que peut prendre les valeurs de 0 à r, soit r + 1 valeurs.

Maintenant, combien y'a-t-il de tirages possibles ? Il faut raisonner en regardant le nombre d'urne en récurrence.

Commençons par une urne.
C'est pas dur, cela fait un tirage possible : tout les oeufs dans le même panier.
La probabilité cherchée est donc 1 de façon triviale.

Puis deux urnes.
Quand l'urne 1 contient b boules, l'urne deux contient r - b boules. Et b peut varier de 0 à r. Donc il y a r + 1 tirages possibles.
Tous les tirages étant satisfaisant, la probabilité cherchée est donc (r+1)/(r+1) = 1

Puis 3 urnes.
On raisonne sur le remplissage de l'urne N°1 :
- Si elle contient r boules : les autres en ont 0. (0+1) = 1 tirage possible.
- Si elle contient r - 1 boules, les autres, c'est-à-dire 2, se partagent 1 boules : (1+1)=2 tirages possibles
- Si elle contient r - 2 boules, les autres, c'est-à-dire 2, se partagent 2 boules : (2+1)=3 tirages possibles
- Si elle contient r - b boules, les autres, c'est-à-dire 2, se partagent b boules : (b+1)  tirages possibles pour b allant de 0 à r.
Donc, nombre de tirages possibles : 1 + 2 + 3 + ... + (r+1) = (r+1).(r+2)/2.
La probabilité cherchée est donc

Puis 4 urnes.
On raisonne sur le remplissage de l'urne N°1 :
- Si elle contient r boules : les autres en ont 0. (0+1).(0+2)/2 = 1 tirage possible
- Si elle contient r - 1 boules, les autres, c'est-à-dire 3, se partagent 1 boules : (1+1).(1+2)/2 = 3 tirages possibles
- Si elle contient r - 2 boules, les autres, c'est-à-dire 3, se partagent 2 boules : (2+1).(2+2)/2 = 6 tirages possibles
- Si elle contient r - b boules, les autres, c'est-à-dire 3, se partagent b boules : (b+1).(b+2)/2 tirages possibles pour b allant de 0 à r.
Donc, nombre de tirages possibles :
La probabilité cherchée est donc

Je te laisse généraliser.

Il y en a qui ont des pouvoirs de divination !

Il y a quoi dans chaque urne ?

C'est écrit où  ?

salut

de ce que je comprend , on a n urnes qui sont vides au depart et r boules numerotées de 1 à r ,  en lançant toutes les boules,  on demande la proba que seules U1 et U2 soient remplies.

le nombre de possibilités totales  est card= n^r
U1     U2
1         r-1  --> C(r,1) facons
2         r-2 --> C(r,2) facons
3         r-3 --> C(r,3) facons
....
r-1         1   --> C(r,r-1) facons

au total  C5r,1)+C(r,2)+...+C(r,r-1) = C(r,j) j compris entre 1 et r-1
cas favorables.
cette somme vaut  2^n -2    et donc P = (2^n - 2)/n^r

sauf si c'est pas ce qu'on demande ....

Bonjour,
je ne suis pas d'accord avec la modélisation de jsvdb.

On a r boules {B₁... B_r} (l'énoncé précise que les boules sont numérotées) et n urnes {U₁... U_n} (les urnes sont aussi numérotées car on parle de l'urne 1 et de l'urne 2).
Et, à mon avis, on précise que les boules sont numérotées pour essayer d'écarter l'interprétation de jsvb.

Le placement des boules est donc une application d'un ensemble à r éléments dans un ensemble à n éléments : il y en a n^r.
L'énoncé n'est pas vraiment clair, mais on peut légitimement supposer que l'on choisis une application au hasard, avec équiprobabilité.

PS
Pour n=2 et r=2, je trouve bien 4 possibilités
(B₁B₂ ; ) ; (B₁ ; B₂) ; (B₂ ; B₁) ; ( ; B₁B₂)

salut à tous

si on prend b1 et b2  et deux urnes u1 et u2

dans U1 : b1b2    dans U2 : rien
dans U1 : rien    dans U2 : b1b2
dans U1 : b1    dans U2 : b2
dans U1 : b2    dans U2 : b1

dans cet exemple je vois 4 possibilités et non pas 3 @jsvdb

Salut jsvdb.
Je trouve le même résultat qu'Emphyy.

Ceci étant dit l'énoncé dont nous disposons n'est pas un modèle de clarté.

.. un correction sur mon resultat  qui serait plutot  

P = (2^r - 2 )/n^r    la somme C(r,j) pour j compris entre 1 et r-1  donne

pourtant 2^r - 2 , je ne comprend comment vous obtenez  seulement  (2/n)^r   car cela

voudra dire qu'entre U1 et U2 il y en a forcement une de vide .....

bonjour,
j'ai déjà répondu mais je ne vois pas mon message

on peut aussi  comprendre que l'on veut réaliser une surjection de l'ensemble des r boules sur {U₁,U₂}  et il y en a 2^r-2
c'est  aussi ce flight a compris il me semble

C'est ce que j'ai compris : pour moi, les deux premières urnes doivent tout contenir n'exclut pas que l'une des deux soit vide quand l'autre a toutes les boules.
_{C'est un peu les boules ces énoncés.}