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Niveau maths spé
Probabilités
Posté par Barmalyon
Bonjour,
J'ai un peu de mal à gérer le problème suivant:
On a une urne qui contient N boules numérotées de 1 à N. On en tire 3 simultanément.
On a donc choix.
On note X la variable aléatoire égale au plus petit des trois numéros tirés, Z celle égale au plus grand, et Y celle du milieu. Mettons que l'on tire 9, 4 et 16, alors: X=4, Y=9 et Z=16
1) Il faut d'abord déterminer la loi de Z et calculer son espérance.
2)Puis trouver la loi de X et son espérance (en prouvant je pense que N+1-Z ont même loi) et celle de Y.
Je me disais que si Z=k ,alors les deux autres boules peuvent prendre toutes les valeurs comprises entre 1 et k-1, et il n'y a qu'une seule façon de les ordonner, donc je pense que:
P(Z=k)=
(le dénominateur correpondant au carninal de l'univers.)
Pour l'espérance de Z, il est indiquer de montrer que:
=
Et je ne vois pas en quoi cette indication est utile.
Merci!
cette indication est utile pour calculer l'esperance mathematique
E(X)=SOM(Xi.P(Xi)) et chaque P(X=i)=1.C(n-i,2)/Cn,3 à mon avis
il est clair que z ne peut pas pendre les valeurs 1 et 2 car il doit etre le terme le plus grand
z varie donc entre 3 et n alors p(z=1)=p(z=2)=0
p(z=3)=(C2,2).1/Cn,3
p(z=4)=(C3,2).1/Cn,3
p(z=5)=(C4,2).1/Cn,3
p(z=n)=(Cn-1,2).1/Cn,3
E(z)=SOM(k.C(k-1),3)/Cn,3 pour k allant de 3 à n
alors pour simplifier ce resultat
E(z)= 1/2.SOM(k.(k-1).(k-2))
=1/2SOM(k^3)-3/2SOM(k²)+SOM(k) pour k allant de 3 à n
-avec SOM(k^3) de 1 à n = (SOM (i))² de 1 à n
alors SOM(k^3) de 3 à n =(SOM(i))²-9 pour i allant de 1 à n
-SOM(k²) de 1 à n = n(n+1)(2n+1)/6 et SOM(k²) de 3 à n = (n(n+1)(2n+1)/6)-5
pour la formule donnée dans l'enoncé N et n sont les memes donc je ne vois pas effectivement comment poursuivre à partir de cette indication