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Probabilités: Accidents sous l'effet de l'alcool

Posté par
zakijam 29-10-09 à 04:39

Bonjour

J'ai besoin d'aide pour résoudre un exercice intéressant que j'ai trouvé dans un livre.
On n'a pas encore étudié ça, alors je ne comprend pas même les termes utilisés.

Le pourcentage des accidents sous l'effet de l'alcool est 5%.
On étudie un échantillon de 50 accidents.
1. Quelle est la probabilité pour que le pourcentage des accidents, sous l'effet de l'alcool, soit au moins 8% ?
2. Ecrire l'expression de la fonction génératrice des moments du variable aléatoire X qui indique
le nombre d'accidents sous l'effet de l'alcool dans cet échantillon. Trouver le moment jusqu'à l'ordre 3.

Merci d'avance.

Posté par
zakijamre : Probabilités: Accidents sous l'effet de l'alcool 29-10-09 à 16:55

Up
Je vous assure qu'il ne s'agit pas d'un devoir.
On étudie encore les espaces euclidiens et la topologie.

J'ai fait des recherches dans wikipedia. Je pense qu'on doit utiliser la loi normale et la loi binomiale.

Posté par
zakijamre : Probabilités: Accidents sous l'effet de l'alcool 29-10-09 à 18:57

Up.

Posté par
zakijamre : Probabilités: Accidents sous l'effet de l'alcool 31-10-09 à 18:31

Des indications?

Posté par
tringlaridore : Probabilités: Accidents sous l'effet de l'alcool 31-10-09 à 22:59

Bonjour,

Tu n'es pas obligé d'utiliser les lois normales !

Etant donné un accident soit il est du à l'alcool soit il ne l'est pas : ça suit une loi de Bernoulli. Sur n accidents, ça fait une somme de Bernoulli... et c'est donc ?

Posté par
zakijamre : Probabilités: Accidents sous l'effet de l'alcool 13-11-09 à 20:08

Voilà ce que j'ai trouvé:
P(70\le X\le 90)=\bigsum_{k=70}^{90}[C_n^k p^k (1-p)^{n-k}]=\bigsum_{k=70}^{90}[C_{100}^k \times 0.8^k(1-0.8)^{100-k}]=0.9916
Est-ce que c'est correcte?
Merci

Posté par
verdurinre : Probabilités: Accidents sous l'effet de l'alcool 13-11-09 à 21:15

Bonsoir.
Tes formules ne sont pas cohérentes avec ton énoncé : ça ne peut pas être correct.

Une première remarque : si 5% des accidents sont du à l'alcool, il est  très invraisemblable de trouver une proba de l'ordre de 0,99 pour qu'il y en ai plus de 8% du à l'alcool sur un échantillon de taille 50 (et même plus petite).

Une deuxième remarque : on demande une proportion supérieur à 8%, ce qui veut dire entre 8% et 100% Je ne vois pas pourquoi limiter X vers le haut.

Une troisième remarque : a priori 8% est une borne pas une probabilité, et 8%=0,080,8

Une esquisse de réponse :
Comme te l'a suggéré tringlarido on a affaire à une loi binomiale, du moins est-ce le modèle couramment utilisé si le nombre d'accident dans le quel on tire l'échantillon est assez grand.
Dans ce cas soit X le nombre d'accidents du à l'alcool dans un échantillon de taille 50.
X suit une loi binomiale de paramètres n=50 et p=0,05.
Il s'agit de calculer P(X4). Car 8% de 50 égal 4.


Ps : la valeur 5% me semble faible, il me semble avoir lu des valeurs plus grandes pour la proportion d'accidents du à l'alcool. Mais je ne suis pas spécialiste de la question.

Posté par
zakijamre : Probabilités: Accidents sous l'effet de l'alcool 13-11-09 à 23:23

Merci beaucoup.
Est-ce qu'on ne peut pas calculer 1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3), ce qui me semble égale à P(X\ge 4) ?
En effet, je n'ai aucun exemple devant moi. Donc je ne suis pas sûr de ce que je vais écrire:
P(x; 50, 0.05)=\frac{50!}{x!(50-x)!}0.05^x 0.95^{50-x}

Posté par
verdurinre : Probabilités: Accidents sous l'effet de l'alcool 14-11-09 à 00:14

Citation :
Est-ce qu'on ne peut pas calculer 1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3), ce qui me semble égale à P(X\ge 4) ?

C'est bien sur ce qu'il faut faire, sans oublier d'enlever aussi P(X=0)

P(x; 50, 0.05) je ne connais pas cette notation, mais elle est proche de ce qu'on écrit avec OooCalc.
Et ce qui suit est P(X=x) pour x entier.
Si tu travaille avec un tableur OooCalc ou Excel tu peut taper dans une cellule la formule
=1-loi.binomiale(3;50;0.05;1)
Le 1 à la fin indiquant qu'il s'agit de la somme des proba pour X3.
Ceci étant il vaut mieux vérifier mes affirmations dans l'aide du programme.

Posté par
zakijamre : Probabilités: Accidents sous l'effet de l'alcool 14-11-09 à 00:42

Merci beaucoup. Je vais chercher la fonction équivalente dans la documentation.
Pouvez-vous m'indiquer comment écrire l'expression de P(X\ge 4), mathématiquement?
Merci encore une fois

Posté par
zakijamre : Probabilités: Accidents sous l'effet de l'alcool 15-11-09 à 13:43

Up

Posté par
verdurinre : Probabilités: Accidents sous l'effet de l'alcool 15-11-09 à 16:56

3$ P(X\ge 4)=\sum_{k=4}^{50} P(X=k)= \sum_{k=4}^{50}{50 \choose k}\cdot 0,05^k \cdot 0,95^{n-k}


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