Bonjour !
Pouvez voous s'il vous plait me guider dans la résolution de ce problème ?

Trois vaches Marguerite, Violette et Capucine entrent en meme temps dans une étable qui ne comporte que deux mangeoires. Marguerites et Violette se mettent tout de suite à table tandis que capucine doit attendre que les deux autres aient fini de manger pour être servie. Le temps mis par chacune des vaches pour terminer leur repas sont des variables aléatoires X1(pour Marguerite), X2 (pour Violette) et X3 (pour capucine)indépendantes.On suppose que les vaches mettent entre 5 et 10 minutes pour manger leur repas et que les variables aléatoires X1, X2, et X3 suivent une loi uniforme sur [5,10].
On note Y le temps qui s'est écoulé entre l'arrivée des trois vaches et le moment où Capucine peut passer à table grâce au départ de l'une des deux autres. On désigne enfin par Z le temps qui s'est écoulé entre l'arrivée des trois vaches et le moment où Capucine finit son repas.

1) Exprimer la variable aléatoire Y en fonction de X1 et X2.
En déduire la loi de Y (on donnera une fonction de répartition et une densité si elle existe)
Quelle est sont espérance ?

Pour moi, Y= X1 si X1X2 et Y = X2 si X2<X1 donc Y suit la même loi que X1 ou X2. Or X1 et X2 suivent une loi uniforme sur [5,10] donc Y suit une loi uniforme sur [5,10]
On a Fy(t) = 0 si t<5 ; (t-5)/5 si 5t<10 et 1 si t10

La fnction de répartition de Y est continue donc Y admet une densité qui est f= 1/5 si 5t10.
En aplliquant la formule E(Y) = yf(y) dy pour y variant entre 5 et 10. je trouve donc E(Y) = 7,5.
Je voudrais savoir si mon raisonnement est correct.

2)Exprimer la variable aléatoire Z en fonction de Y et X3. Quelle est la loi de Z ?
Z = Y + X3.
Donc on a :
P(z10)=0
P(10<Z<20)=(z-10)/10
P(z20)=1

Z suit donc une loi uniforme sur [10,20].

Pouvez vous s'il vous plait me confirmer que moon raisonnementest correct où alors m'expliquer pourquoi ce serait faux.

Par avance merci !

Elotwist