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Probabilités: variables aléatoires et loi de Poisson
Posté par Blau
Bonjour, je vous sollicite pour un exercice dans lequel je rencontre un petit problème avec la loi de Poisson
Enoncé: Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, suivant toues les deux une loi de Poisson, respectivement P(
) et P(
) où ,
*+.
Calculer la loi de S=X+Y.
Sachant que [S=n],avec n
donné, quelles sont les valeurs k possibles pour X. Pour un tel entier k, calculer P([X=k]|[S=n]).
Trouver l'expression de la loi pour X ou Y, ce n'est pas compliqué, il suffit juste d'appliquer la loi de Poisson, mais pour trouver celle de S je ne vois pas vraiment comment faire...
Merci pour votre aide!
Bonjour,
Tu dois calculer P(S=n) pour n entier
0; tu as :
[S=n] = [(X=0 et Y=n) ou (X=1 et Y=n-1) ou (X=2 et Y=n-2) ou ... ou (X=n et Y=0)] ;
en utilisant l'indépendance de X et Y tu vas obtenir pour P(S=n) une somme qui se calculera grâce à la formule de binôme ...
A toi !
Voilà ce que je trouve:
Soit S=X+Y
P(S=n)=P(X=0,Y=n)+P(X=1,Y=n-1)+......+P(X=n,Y=0)
=P(X=0).P(Y=n)+....+P(X=n).P(Y=0)
=
k=0nP(X=k).P(Y=n-k)
=e-.(k/k!).e-.(n-k/(n-k)!)
=e-2.(n/(k!(n-k)!))
Voilà, une fois arrivé à cette dernieère expression, c'est là que je dois utiliser la formule du binôme? Si oui je ne vois pas vraiment comment.
Sinon "Calculer la loi de S=X+Y ET Sachant que [S=n],avec n donné, quelles sont les valeurs k possibles pour X. Pour un tel entier k, calculer P([X=k]|[S=n])." ne constituent qu'une seule et même question non? c'est la même question dans les deux si j'ai bien compris?
Merci,