Hello, je suppose que la question a déjà été traitée mais je n'ai pu trouver que des cas particuliers de ce problème via le moteur de recherche, je me permet donc de faire un topic en m'excusant d'avance si il fait doublon.

L'énoncé :

1) Quelle est la probabilité parmi un effectif de n personnes que 2 personnes au moins aient la même date d'anniversaire?

En utilisant l'évènement contraire j'arrive à P = 1 - (365)!/[(365-n)!*365ⁿ] (généralisation du (365/365)(364/365)(363/365)...[(365-n)/365] qu'on trouve assez intuitivement)

ce qui me donne des résultats cohérents

2)A partir de combien d'élèves cette probabilité dépasse-elle 50%? 90%?

C'est là que ça se complique par rapport à un cas parrticulier et que je bloque, en effet :

P > 0.5 <=> 1 - (365)!/[(365-n)!*365ⁿ] > 1/2
        <=> (365)!/[(365-n)!*365ⁿ] < 1/2

Et je me retrouve avec mon inconnue n à la fois en exposant et dans le (365-n)! et je n'arrive pas à trouver un moyen de l'isoler.

J'étais parti sur :

(365)!/[(365-n)!*365ⁿ] < 1/2 <=> (365)!/(365-n)! < 1/2*365ⁿ
                              <=> (365)!/(365-n)! < 1/2*e^(n*ln365)

mais je n'arrive pas à aboutir..

Je précise que cet exo est tiré d'un livre d'Algèbre de prépa MPSI 1ère année et que je passe justement en MPSI et je n'ai donc qu'un niveau terminale mais il me semblait avoir de quoi résoudre ce problème

Merci d'avance