Bonjour à tous, j'ai un DM à rendre pour mardi, et sachant que j'ai toujours beaucoup de mal à les faire, je viens sur ce forum en espérant que vous pourriez m'accompagner dans ma recherche ! Je publierais au fur et a mesure les résultats de ma recherche pour que vous puissiez me corriger si mon raisonnement n'est pas correct... merci !
Voila le sujet :



Dans tout le probleme, n désigne un entier supérieur ou égal à 1.

Partie 1.

1. Soit R une fonction continue sur R à valeurs réelles.
On considère la fonction g définie par : quelquesoit x appartenant a R-{1}, g(x) =
i. Montrer que g se prolonge en une fonction g~ continue sur R. Que vaut g~(1) ?
ii. Montrer que si h est une fonction polynome, il en est de même de g~.

2. R(X) est l'ensemble des polynomes en X à coefficients réels.
i. Montrer que l'on peut définir une application f de R(X) dans R(X) en posant :
quelquesoit P appartenant a R(X), quelquesoit appartenant a R,
(1) et que f est linéaire.
ii. Montrer que l'on peut définir la restriction de f à Rk(X), que l'on note fk, pour tout entier k de N. (Rk(X) est l'ensemble des polynomes a coefficients réels de degré inférieur ou égal à k).

3. i. Ecrire la matrice An de fn dans la base canonique Bn (X0, X1, ...Xn) de Rn(X).
ii. Trouver les valeurs propres de An. Que peut on en déduire pour la matrice An ?

4. i. Déterminer les polynomes P de Rn(X) tels que fn(P)=P
ii. Pour k appartenant a ((1,N)), on considère l'équation d'iconnue P, P appartenant a Rn(X) :
fn(P) =
- Montrer que si P est solution de Ek, alors 1 est racine de P
- montrer que Ek admet des solutions autres que le polynome nul.
- Soit P une solution non nulle de Ek, en écrivant P(X) = (X-1)^n Q(X) ou n appartenient a N*, et Q(1)≠0, trouver P(X)
- Montrer que l'équation Ek admet une unique solution Pk qui vérifie : Pk(0)=(-1)^k
iii. On pose P0=1. Montrer que (P0, P1, ...Pn) est une base B' de Rn(X). Expliciter la matrice A'n de f dans la base B', la matrice de passage T de B a B' et son inverse T-1
Quelle relation a t on entre An, A'n, T et T-1 ?

Partie 2.

On dispose de n urnes U1, ...Un. Pour 1≤i≤n, l'urne Ui contient i boules numérotées de 1 à i. On choisit une urne au hasard et on y tire une boule au hasard. V désigne le numéro de l'urne choisie, X le numéro de la boule tirée.

5. Ecrire en Turbo Pascal un programme qui simule V et X.
6. Trouver la loi de X. Verifier que c'est bien une loi de probabilité.
7. Calculer l'espérance et la variance de X.
8. V et X sont elles indépendantes ?
9. Calculer la covariance de (V,X)