bonjour Ringo
mon avis est non
Pierre connaît peut-être des systèmes pour générer et nommer des nombres d'ordres de plus en plus grands et que Paul ne connaît pas.
La combinaison des nombres 'possédés' par Paul et de la simple addition ne suffirait pas à atteindre les nombres 'possédés" par Pierre.

Le réel peut tendre vers l'infini, donc ma réponse est non.

LucaS

La réponse est non, mais pas parce que Pierre peut choisir un très grand nombre mais simplement parce qu'on peut ajouter une infinité de réels tous strictement positifs, dont la somme est inférieure à 1, par exemple :
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...
C'est l'histoire de la tarte dont on prend une moitié, puis dont on prend la moitié de ce qui reste, puis dont on prend encore la moitié de ce qui reste ... On n'a jamais fini de la manger

Bonjour, Patrice
Votre raisonnement ne va pas ici, parce que Paul n'est pas obligé de prendre des nombres de plus en plus petits; il peut prendre ceux qu'il veut.

Alors, le problème est mal posé car :

1."Pierre choisit un réel". Ce réel, une fois choisi, ne bouge plus.

2."Paul ajoute autant qu'il le veut des réels positifs de son choix" : il peut donc, a priori, choisir des nombres de plus en plus petits, comme ceux que j'ai donnés... mais il peut aussi en choisir des plus grands.

3."Etes-vous SÛR que la somme obtenue par Paul finira par dépasser le nombre de Pierre" : NON (car s'il choisit des nombres positifs en progression géométrique avec une raison inférieure à 1 ...). Paul n'est certes pas obligé de prendre de tels nombres, mais il le peut ! On ne sera jamais sûr qu'il dépassera le nombre de Pierre.

Si la question avait été : "Est-ce que Paul peut espérer obtenir une somme supérieure au nombre de Pierre ?" la réponse aurait été OUI (car R est un ensemble archimédien) quelque soit le nombre réel choisit par Pierre (les nombres transfinis ne sont pas des réels).

Je persite donc à dire, que, telle que la question est posée, la réponse est non pour la raison que j'ai indiquée.