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Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème polynômes 03-04-08 à 15:32

Salut !

Nicolas étant déconnecté, je t'aide alors !

1) Bon tu sais bien que 3$\rm\fbox{sin(x)\le x\le tan(x)} pour \fbox{x\in ]0\frac{\pi}{2}[}, tu peux conclure seul

2) on a : 3$\rm\fbox{cotan^2(x)\le \frac{1}{x^2}\le \frac{1}{sin^2(x)}} pour 3$\rm\fbox{x\in ]0\frac{\pi}{2}[}

Or: pour tout 3$\rm k\in \{1,...,r\} \fbox{\frac{k\pi}{2r+1}\in ]0\frac{\pi}{2}]}

On peut alors dire d'après 1) que: 3$\rm\fbox{cotan^2(\frac{k\pi}{2r+1})\le \frac{1}{\(\frac{k\pi}{2r+1}\)^2}\le \frac{1}{sin^2(\frac{k\pi}{2r+1})}}

en sommant jusqu'à r: 3$\rm\fbox{\Bigsum_{k=1}^rcotan^2(\frac{k\pi}{2r+1})\le \Bigsum_{k=1}^r\frac{1}{\(\frac{k\pi}{2r+1}\)^2}\le \Bigsum_{k=1}^r\frac{1}{sin^2(\frac{k\pi}{2r+1})}}

Or tu as démontré que: 3$\rm \fbox{\Bigsum_{k=1}^rcotan^2(\frac{k\pi}{2r+1})=\frac{r(2r-1)}{2}} et 3$\rm \fbox{\Bigsum_{k=1}^r\frac{1}{sin^2(\frac{k\pi}{2r+1})}=\frac{2r(r+1)}{3}}

donc: 3$\rm\fbox{\blue\frac{r(2r-1)}{2}\le\Bigsum_{k=1}^r\frac{1}{\(\frac{k\pi}{2r+1}\)^2}\le \frac{2r(r+1)}{3}}

3) En multipliant par 3$\rm\fbox{\frac{\pi^2}{(2r+1)^2}} l'inégalité précédente, on aura:

3$\rm\fbox{\blue\frac{r(2r-1)}{2}\frac{\pi^2}{(2r+1)^2}\le\Bigsum_{k=1}^r\frac{1}{k^2}\le \frac{2r(r+1)}{3}\frac{\pi^2}{(2r+1)^2}}

Ainsi, par le théorème d'encadrement: 4$\rm\fbox{\red\Bigsum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}}

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème polynômes 03-04-08 à 15:42

à droite dans l'inégalité ce sont tous des des 3 et non 2

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 03-04-08 à 20:03

anyone, avant de poster les questions suivantes, tu aurais pu nous dire ce que tu pensais de 4a et 4b...

Posté par
anyonere : problème polynômes 03-04-08 à 20:40

excusez moi, j'étais certain d'avoir répondu pourtant ^^  
j'avais réussi ces questions sauf la 3) mais j'ai des petits problèmes avec internet en ce moment ..

merci à vous 2 monrow et Nicolas_75


Bonne soirée !!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 08-04-08 à 20:46

Pour ma part, je t'en prie.

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