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problème polynômes

Posté par
anyone 30-03-08 à 15:50

bonjour,

voici un problème que je n'arrive pas à résoudre dès la 1ere question
pouvez vous m'aider svp ??

soit Qn(X) un polynome de C[X] tel que Qn(X)= [(X+i)n - (X-i)n] / 2i , pour tout entier naturel n

1. degré de Qn ?
2. montrer que Q2r+1(X) = (de k=0 à r) (-1)k (2k+1 parmi 2r+1)X2r-2k , pour tout entier naturel r
3.a. grace a la définition de Qn, trouver les racines de Qn
b. en déduire la décomposition de Qn en produit de poly de deg 1
c. montrer alors que :
Q2r+1(X) = (2r+1) (de k=1 à r) (X² - cotan²(k / (2r+1))
4.a en utilisant les expressions de Q2r+1(X) trouvées aux questions 2 et 3c démontrer que :
(de k=1 à r) cotan²(k / (2r+1)) = (r(2r-1))/3
(on pourra calculer de 2 façons différentes le coefficient devant X2r-2 dans Q2r+1

b. en déduire que (de k=1 à r) 1/(sin²(k / (2r+1))) = 2r(r+1) / 3


merci beaucoup ^^

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 15:51

Bonjour,

Que proposes-tu pour 1) ? (Il suffit de développer...)

Nicolas

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 15:54

euhh, de degré n non ?

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 15:55

mais je pense que les termes de plus haut degré se simplifient quand on développe ..

Posté par
Charly88re : problème polynômes 30-03-08 à 16:13

oui les termes de plus hauts degrés se simplifie
le degré de Qn est n-1.
Mais utilise le binome de newton et tous ira bien tu verras.
Tu pourras même avoir le coefficient devant x^(n-1)

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 16:48

je ne comprends pas comment démontrer le degré .. desolé

merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 17:50

3$Q_n(X)= \frac{(X+i)^n - (X-i)^n}{2i}

Le terme de degré n du numérateur est : 3$X^n-X^n=0

Le terme de degré n-1 du numérateur est : 3$nX^{n-1}i-nX^{n-1}(-i)=2inX^{n-1}\neq 0

Sauf erreur.

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 17:53

oui,merci, j'ai fait a peu près de la même façon, avec le binome de newton je remarque que si k=0, le deg Qn < n et si k=1, deg Qn = n-1

pouvez vous m'aider pour la 2 svp ?

merci ^^

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 17:55

Citation :
si k=0, le deg Qn < n et si k=1, deg Qn = n-1

Je ne comprends pas. Le degré de Qn ne dépend pas de k : il n'y a pas de k dans l'énoncé de la question 1 !

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 17:58

j'ai utilisé le  binome de newton, donc il y a bien des k qui apparaissent :

Qn(X) = ((de k=0 à n) (k parmi n) Xn-k (ik- (-i)k) / 2i

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 18:00

Oui. Mais le degré de Qn ne dépend pas de k. De toute façon, k est une variable muette. Il faut isoler les termes de degrés n (k=0) et n-1 (k=1) et se rendre compte que le premier est nul, et le second non nul.

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 18:01

oui c'est ce que j'ai fait .. (je me suis mal exprimé )

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 18:03

1.
3$Q_n(X)= \frac{(X+i)^n - (X-i)^n}{2i}
3$Q_n(X)= \Bigsum_{0\le k\le n}{n\choose k}\frac{i^k-(-i)^k}{2i}X^{n-k} (*)
On isole les terms de degré n et n-1 :
3$Q_n(X)= nX^{n-1}+\Bigsum_{2\le k\le n}{n\choose k}\frac{i^k-(-i)^k}{2i}X^{n-k}
Donc Qn est de degré n-1.

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 18:04

oui merci ^^

pouvez vous m'éclairer pour la 2 svp  ??

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 18:10

2.
On repart de la formule (*) ci-dessus en posant n=2r+1 et en renommant k en m :
3$Q_{2r+1}(X)= \Bigsum_{0\le m\le 2r+1}{2r+1\choose m}\frac{i^m-(-i)^m}{2i}X^{2r+1-m}
3$Q_{2r+1}(X)= \Bigsum_{0\le m\le 2r+1}{2r+1\choose m}\frac{i^m\left(1-(-1)^m\right)}{2i}X^{2r+1-m}
On distingue les cas "m pair" (m=2k) et "m impair" (m=2k+1) :
3$Q_{2r+1}(X)= \Bigsum_{0\le 2k\le 2r+1}{2r+1\choose 2k}\frac{i^{2k}\left(1-(-1)^{2k}\right)}{2i}X^{2r+1-2k} + \Bigsum_{0\le 2k+1\le 2r+1}{2r+1\choose 2k+1}\frac{i^{2k+1}\left(1-(-1)^{2k+1}\right)}{2i}X^{2r+1-2k-1}
La somme de gauche est une somme de termes nuls, donc est nulle. Reste :
3$Q_{2r+1}(X)= \Bigsum_{0\le 2k+1\le 2r+1}{2r+1\choose 2k+1}\frac{i^{2k+1}\left(1-(-1)^{2k+1}\right)}{2i}X^{2r+1-2k-1}
On simplifie l'exposant à droite :
3$Q_{2r+1}(X)= \Bigsum_{0\le 2k+1\le 2r+1}{2r+1\choose 2k+1}\frac{i^{2k+1}\left(1-(-1)^{2k+1}\right)}{2i}X^{2r-2k}
On simplifie la fraction :
3$Q_{2r+1}(X)= \Bigsum_{0\le 2k+1\le 2r+1}{2r+1\choose 2k+1}\frac{i^{2k+1}\times 2}{2i}X^{2r-2k}
3$Q_{2r+1}(X)= \Bigsum_{0\le 2k+1\le 2r+1}{2r+1\choose 2k+1}i^{2k}X^{2r-2k}
3$Q_{2r+1}(X)= \Bigsum_{0\le 2k+1\le 2r+1}{2r+1\choose 2k+1}(-1)^{k}X^{2r-2k}
On simplifie le domaine de variation des indices :
3$\fbox{Q_{2r+1}(X)= \Bigsum_{0\le k\le r}(-1)^{k}{2r+1\choose 2k+1}X^{2r-2k}}

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 18:20

ahh j'étais bien parti .. mais je bloquais pour la suite .. merci beaucoup ^^

pour les racines j'ai un peu de mal,je ne vois pas quelle définition utilisée.

merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 18:21

Il suffit de résoudre l'équation Qn(x)=0

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 18:23

j'utilise la première expression de Qn ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 18:24

L'énoncé répond à ta dernière question.

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 18:50

pouvez vous  m'aider .. je tourne en rond ..

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 18:52

3.a.
3$Q_n(X)=0
3$\Longleftrightarrow \frac{(X+i)^n-(X-i)^n}{2i}=0
3$\Longleftrightarrow (X+i)^n=(X-i)^n
3$\Longleftrightarrow \left(\frac{X+i}{X-i}\right)^n=1\mathrm{\ et\ }X\neq i
3$\Longleftrightarrow \frac{X+i}{X-i}=e^{\frac{i2k\pi}{n}}\; 0\le k\le n-1\mathrm{\ et\ }X\neq i
(On résoud cette équation du premier degré en X)
3$\Longleftrightarrow X=i\frac{e^{\frac{i2k\pi}{n}}+1}{e^{\frac{i2k\pi}{n}}-1}\; 0\le k\le n-1\mathrm{\ et\ }\fbox{k\neq 0}\mathrm{\ et\ }X\neq i
3$\Longleftrightarrow X=i\frac{e^{\frac{i2k\pi}{n}}+1}{e^{\frac{i2k\pi}{n}}-1}\; 1\le k\le n-1
(On divise numérateur et dénominateur par e^{\frac{ik\pi}{n}})
3$\Longleftrightarrow X=i\frac{e^{\frac{ik\pi}{n}}+e^{-\frac{ik\pi}{n}}}{e^{\frac{ik\pi}{n}}-e^{-\frac{ik\pi}{n}}}\; 1\le k\le n-1
3$\Longleftrightarrow X=i\frac{2\cos\frac{k\pi}{n}}{2i\sin\frac{k\pi}{n}}\; 1\le k\le n-1
3$\Longleftrightarrow \fbox{X=\mathrm{cotan}\frac{k\pi}{n}\; 1\le k\le n-1}

On trouve bien n-1 racines, ce qui correspond au degré de Q_n.

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 18:55

merci, je n'avais pas penser à dovoser par e^{\frac{ik\pi}{n}} à votre 5e étape !


merci beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 18:58

Je t'en prie.

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 19:16

pour la décomposition est ce que je dois utiliser le théorème qui dit que : Si est racine d'un polynôme P [X], alors P s'écrit comme P(X)=(X-)Q(X) avec Q [X]. ??

merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 19:17

Oui.
Tu utilises ce théorème (n-1) fois.
Tu sais que le polynôme est de degré (n-1) et tu connais ses (n-1) racines.
Il est donc facile de trouver le résultat demandé, non ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 19:34

3.b.
On déduit de la question précédente qu'il existe un 3$\alpha\in\mathbb{R}^* tel que :
3$Q_n(X)=\alpha\,\Bigprod_{1\le k\le n-1}\left(X-\mathrm{cotan}\frac{k\pi}{n}\right)
Or on sait grâce à une question précédente que le terme de plus haut degré est 3$n\,X^{n-1}, donc :
3$\fbox{Q_n(X)=n\Bigprod_{1\le k\le n-1}\left(X-\mathrm{cotan}\frac{k\pi}{n}\right)}

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 19:39

je ne comprends pas comment vous arrivez a ce resultat ..
pouvez vous m'expliquer autrement si possible svp ?

merci beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 19:42

En appliquant le théorème que tu cites, on en trouve un autre :
Si un polynôme P de degré n admet pour racines a1, a2, ..., an, alors P se factorise par les (X-ai) et :
P(X) = alpha . (X-a1)(X-a2)...(X-an) où alpha est un réel non nul.

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 19:48

ok, mais pour arriver à Q2r+1(X) = (2r+1) (de k=1 à r) (X² - cotan²(k/ (2r+1))

(où on a : X² - cotan²(k/ (2r+1) et non (X - cotan(k/ (2r+1) ,il suffit de faire un changement d'indice ??

merci ^^

(je ne vois toujours pas ce que donne la décomposition désolé .. )

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 19:50

Non, il ne suffit pas de faire un changement d'indice.
Finalement, tu as réussi 3.b. ou non ?

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 19:51

non, excusez moi, je ne m'y retrouve plus

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 19:54

Oui ou non connais-tu ou comprends-tu ce théorème :

Si un polynôme P de degré n admet pour racines a1, a2, ..., an, alors P se factorise ainsi :
P(X) = alpha . (X-a1)(X-a2)...(X-an) où alpha est un réel non nul.

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 20:22

oui c'est bon j'ai réussi ! merci !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 20:22

OK. Passe à 3.c...

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 20:32

pour la 3c, je remplace n par 2r+1 , puis je divise le produit en 2, allant de k=1 à r et de k=r+1 à 2r)
c'est bien ça pour commencer ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 20:33

Oui.

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 20:37

mais après je n'arrive pas à en déduire le résultat demandé ..


merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 20:41

3.c.
On prend 3$n=2r+1
3$Q_{2r+1}(X)=(2r+1)\Bigprod_{1\le k\le 2r}\left(X-\mathrm{cotan}\frac{k\pi}{2r+1}\right)
On sépare le produit en deux :
3$Q_{2r+1}(X)=(2r+1)\Bigprod_{1\le k\le r}\left(X-\mathrm{cotan}\frac{k\pi}{2r+1}\right)\Bigprod_{r+1\le k\le 2r}\left(X-\mathrm{cotan}\frac{k\pi}{2r+1}\right)
Dans le produit de droite, on procède au changement d'indice 3$k\to 2r+1-k :
3$Q_{2r+1}(X)=(2r+1)\Bigprod_{1\le k\le r}\left(X-\mathrm{cotan}\frac{k\pi}{2r+1}\right)\Bigprod_{1\le k\le r}\left(X-\mathrm{cotan}\frac{(2r+1-k)\pi}{2r+1}\right)
3$Q_{2r+1}(X)=(2r+1)\Bigprod_{1\le k\le r}\left(X-\mathrm{cotan}\frac{k\pi}{2r+1}\right)\Bigprod_{1\le k\le r}\left(X-\mathrm{cotan}\left(\pi-\frac{k\pi}{2r+1}\right)\right)
Or 3$\mathrm{cotan}(\pi-\alpha)=\frac{\cos(\pi-\alpha)}{\sin(\pi-\alpha)}=\frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha}=-\mathrm{cotan}\alpha. Donc :
3$Q_{2r+1}(X)=(2r+1)\Bigprod_{1\le k\le r}\left(X-\mathrm{cotan}\frac{k\pi}{2r+1}\right)\Bigprod_{1\le k\le r}\left(X+\mathrm{cotan}\frac{k\pi}{2r+1}\right)
On regroupe les produits :
3$Q_{2r+1}(X)=(2r+1)\Bigprod_{1\le k\le r}\left(X-\mathrm{cotan}\frac{k\pi}{2r+1}\right)\left(X+\mathrm{cotan}\frac{k\pi}{2r+1}\right)
3$\fbox{Q_{2r+1}(X)=(2r+1)\Bigprod_{1\le k\le r}\left(X^2-\mathrm{cotan}^2\frac{k\pi}{2r+1}\right)}

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 20:50

ahh oui en effet , merci beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 20:52

Je t'en prie.

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 21:30

pouvez vous m'aider pour la question suivante svp  ??  

merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 21:45

Il y a l'une des deux expressions de Q2r+1 au sein de laquelle il est très facile de trouver le coefficient de X^(2r-2). Laquelle ? Quelle est la valeur du coefficient correspondante ?

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 21:46

oui, le coefficient de X^(2r-2) vaut cotan²(kpi/2r+1) .. mais comment en déduire la somme de ce coefficient ??
merci

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 21:47

euh pardon, j'ai donné la racine ^^

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème polynômes 30-03-08 à 21:47

Ravi de te revoir Nicolas

Posté par
anyonere : problème polynômes 30-03-08 à 21:59

euh, .. je n'y arrive pas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 22:52

Salut monrow ! Ravi, également.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 22:53

4.a.
Les questions 2 et 3.c ont permis d'obtenir deux expressions différentes de 3$Q_{2r+1}(X) :
3$\left(\;Q_{2r+1}(X)\;=\;\right)\; \Bigsum_{0\le k\le r}(-1)^{k}{2r+1\choose 2k+1}X^{2r-2k}=(2r+1)\Bigprod_{1\le k\le r}\left(X^2-\mathrm{cotan}^2\frac{k\pi}{2r+1}\right)
Comme l'énoncé le suggère, trouvons de deux façons différentes le coefficient 3$\beta devant 3$X^{2r-2}.

A partir de la première forme, c'est très simple. Il suffit de prendre le terme correspondant à 3$k=1 :
3$\beta=-{2r+1\choose 3}

Pour la seconde forme, visualisons dans notre tête le développement du produit. Pour obtenir un terme en 3$X^{2r-2}, il faut multiplier 3$r-1 X^2 avec un \mathrm{cotan}^2. Donc le coefficient devant 3$X^{2r-2} est une somme de \mathrm{cotan}^2 :

3$\beta=-(2r+1)\Bigsum_{1\le k\le r}\mathrm{cotan}^2\frac{k\pi}{2r+1}

En identifiant les deux expressions de 3$\beta, il vient :
3$\Bigsum_{1\le k\le r}\mathrm{cotan}^2\frac{k\pi}{2r+1}=\frac{1}{2r+1}{2r+1\choose 3}
3$\Bigsum_{1\le k\le r}\mathrm{cotan}^2\frac{k\pi}{2r+1}=\frac{1}{2r+1}\times\frac{(2r+1)2r(2r-1)}{3.2.1}
3$\fbox{\Bigsum_{1\le k\le r}\mathrm{cotan}^2\frac{k\pi}{2r+1}=\frac{r(2r-1)}{3}}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème polynômes 30-03-08 à 23:06

4.b.
On a montré à la question précédente que :
3$\Bigsum_{1\le k\le r}\mathrm{cotan}^2\frac{k\pi}{2r+1}=\frac{r(2r-1)}{3}
C'est-à-dire :
3$\Bigsum_{1\le k\le r}\frac{\cos^2\frac{k\pi}{2r+1}}{\sin^2\frac{k\pi}{2r+1}}=\frac{r(2r-1)}{3}
3$\Bigsum_{1\le k\le r}\frac{1-\sin^2\frac{k\pi}{2r+1}}{\sin^2\frac{k\pi}{2r+1}}=\frac{r(2r-1)}{3}
3$\Bigsum_{1\le k\le r}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{2r+1}}-r=\frac{r(2r-1)}{3}
3$\fbox{\Bigsum_{1\le k\le r}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{2r+1}}=\frac{2r(r+1)}{3}}

Posté par
anyonere : problème polynômes 03-04-08 à 14:44

bonjour !!
pouvez vous m'aider svp pour la suite de cet exercice :

1.pour tout x de ]0;pi/2[, établir que : cotan²(x)1/x²1/sin²(x)
2. trouver un encadrement de (de k=1 à r) 1/(kpi/(2r+1))²
3. montrer que (de n=1 à +inf) = pi²/6

merci!!

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