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Probleme pour calcull d'une esperance
Posté par elotwist
Bonjour !
Pouvez-vous s'il vous plait m'aider pour le calul d'une espérance ?
Dans mon exercie D est le disque unité ouvert. J'ai M:=(X,Y) un vecteur aléatoire suivant la loi uniforme sur D et on poseR:=(X²+Y²)^(1/2).
J'ai montré que la fonction de repartition de la variable aléatoire positive R est donné par :
F(r)=0 si r
0
F(r)=r² so 0<r1
F(r)=1 si r>1.
J'ai calculé l'espérance de R en intégrant 1-F(r) et j'ai trouvé E(R)=2/3
J'ai trouvé que R admet une densité puisque sa fonction de répartition est C1 par morceaux. f(r)=2r * Indicatrice ]0,1] (x)
Maintenant on mon demande de calculer E(R²) et je ne c'est pas trop comment m'y prendre... j'ai commencé par dire que E(R²)=E(X²+Y²)=E(X²)+E(Y²) mais je bloque pour calculer E(X²)... puis ce n'est pas de cette façon que je dois raisonner puisque dans les questions suivantes il y a en déduire sans calcul les valeurs de E(X²) et E(Y²)
Merci à vous !
Elotwist
salut
si f est la densité de R alors E(R²)=
r²f(r)dr que tu calcules sur [0,1]
ça n'a pas l'air de poser un pb
à mon avis E(X²)=E(Y²) par symétrie, indépendance...
Bonjour,
Pour calculer l'espérance de R tu aurais pu aussi calculer où f(r) est la densité.
Et plus généralement si u est une fonction de r, l'espérance de la va u(R) est
.
En particulier
merci carpediem, on a bien ri autour de la table et je sens que toute la famille va m'appeler PIL maintenant ... 
elotwist : carpediem t'a dit que E(X2) et E(Y2) sont égaux par symétrie et tu sais que E(R2) = E(X2) + E(Y2); tu dois pouvoir conclure, non ?
Merci j'ai bien réussi à terminer cette partie...
Maintenant on me donne C le carré [1-
,1]² avec >0 choisi suffisamment petit pour que C
D =
...
J'ai du mal à me représenter parce que pour moi il est inclus dans D (D ={(x,y)
R² telque x²+y²<1}. Mais dans l'énoncé on dit que leur intersection est vide... pourquoi ?
Ensuite on me demande que vaut P(MC) pour moi c'est ²/
... mais jen'en suis pas trop convaincue...
Comment justifier à l'aide d'une interprétation géométrique de cette probabilité que P(X[1-,1]>0.
Est-ce juste que c'est parce que la probabilité est un quotient de nombre positifs ? Mais ceci n'est pas une interprétation géométrique...
et une fois après avoir fait tout ça on me demande est que X et Y sont indépendantes ? quel est le rapport qui lie cette constatation avec ce qui précède ?
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Bonsoir elotwist,
Les sommets de ton carré C sont les points (1-,1-), (1,1-), (1,1) et (1-,1); dessine -le ,tu vois bien qu'il peut être en dehors de D.
Pour la probabilité, ta réponse serait correcte si C était contenu dans D !
La condition X[1-,1] , autrement dit 1-X1, définit une bande verticale infinie de largeur ; elle coupe D selon un segment de cercle qui a une aire non nulle.
Pour l'indépendance de X et Y, essaie de sentir que les valeurs que peut prendre Y dépendent des valeurs que X prend, et formalise-le en utlisant ce que tu as déjà fait !
Bon travail !