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Niveau Maths sup
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projecteurs

Posté par
backefeurt
07-10-09 à 18:33

bonjour,

soit E un K-espace vectoriel.soient p et q deux endomorphismes de E. montrez que p et q sont deux projecteurs de même noyau si et seulement si p"rond"q=p et q"rond"p=q.
donnez une condition necessaire et suffisante pour que p et q soient deux projecteurs de même image.

j'ai fait l'implication de droite à gauche mais pour celle de gauche à droite j'ai plus de mal:

: x de Ker(p): p(x)=q(x)=0 donc p(x)=p(p(x))=p(q(x))
mais bon ça marche seulement pour x de Ker(p)... comment fait on pour tout x de E?
pourriez vous aussi me donner une indication pour la condition nécessaire?

merci de m'aider

Posté par
backefeurt
re : projecteurs 08-10-09 à 00:00

Posté par
perroquet
re : projecteurs 08-10-09 à 00:26

Bonjour, backefeurt

Si x est dans Im(q)   q(x)=x    donc     p o q(x) = p(x)
p o q  et  p  coïncident sur ker(q) et Im(q), qui sont deux sous-espaces supplémentaires, donc, elles sont égales.

Même principe pour démontrer que    q o p = q

Posté par
backefeurt
re : projecteurs 08-10-09 à 09:17

merci bien



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