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Niveau Licence Maths 1e ann
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Puissance de matrice

Posté par
ludelu1981
15-03-10 à 13:56

Bonjour,
J'ai un exercice ou je bloque sur une question.
Voici l'énoncé
On pose la matrice
       2    0    0
A =  0,5  1,5  -0,5
       0,5  -0,5  1,5

et
       0    1    1
P =  1    1    0
       1    0    1

Question 1
Montrer que P est inversible et calculer son iverse
Pas de problème j'ai réussi et j'ai trouver
        -0,5    0,5    0,5
P-1 =  0,5     0,5   -0,5
         0,5     -0,5   0,5

Question 2
Montrer que P-1AP est une matrice inversible que l'on notera D
Pas de problème j'ai réussi et j'ai trouvé
       1    0    0
D =  1    1    -1
       1    -1    1

Question 3
Calculer An
Et por cette question je bloque.J'ai écris que Dn = P-1AnP, ensuite j'ai voulu essayer d'isoler An mais je n'y arrive pas.

Merci pour votre aide. Ludovic

Posté par
Camélia Correcteur
re : Puissance de matrice 15-03-10 à 14:02

Bonjour

A mon avis ta D est fausse! Elle devrait être diagonale!

Posté par
raymond Correcteur
re : Puissance de matrice 15-03-10 à 14:03

Bonjour.

\textrm P^{-1}.A.P = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}

Posté par
raymond Correcteur
re : Puissance de matrice 15-03-10 à 14:04

Bonjour Camélia.

Je confirme !

Posté par
ludelu1981
re : Puissance de matrice 15-03-10 à 14:06

Oui en effet, j'ai taper sur l'écran le produit P-1 par A.
Sinon ma matrice D est bien la même que raymond.
J'ai une question est ce qu'un matrice diagonale peut avoir des coefficient sur la diagnale principale différent de 1 ou pas.

Merci de m'aider
Ludovic

Posté par
Camélia Correcteur
re : Puissance de matrice 15-03-10 à 14:06

Bonjour Raymond Une matrice qui s'appelle D et qui ne serait pas diagonale??

Posté par
Camélia Correcteur
re : Puissance de matrice 15-03-10 à 14:07

Oui, bien sur, la preuve! ici il y a des 2... mais tu écris n'importe quelle matrice diagonale avec n'importe quoi sur la diagonale!

Posté par
ludelu1981
re : Puissance de matrice 15-03-10 à 14:17

Serait t-il possible de m'aider à calculer An.
Comme D est une matrice diagonale alors j'obtient très facilement Dn mais après je ne sais pas.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Puissance de matrice 15-03-10 à 14:18

Tu as écrit D^n=P^{-1}A^nP, donc A^n=PD^nP^{-1}

Posté par
ludelu1981
re : Puissance de matrice 15-03-10 à 14:37

Merci Camélia.
Alors voici ce que j'ai trouvé
         2n                 0                   0
An =  -0,5 + 2n-1     0,5 + 2n-1      0,5 - 2n-1
        -0,5 + 2n-1     0,5 - 2n-1      0,5 + 2n-1

Merci beaucoup pour votre aide. Et à la prochaine fois. Ludovic

Posté par
raymond Correcteur
re : Puissance de matrice 15-03-10 à 14:48

Bonne soirée.

Posté par
ludelu1981
re : Puissance de matrice 15-03-10 à 15:04

Merci à vous raymond et bonne soirée aussi. Ludovic

Posté par
MacErmite
re : Puissance de matrice 15-03-10 à 21:12

Bonjour,

je suis très intéressé par cet exercice et je me demande pourquoi on peut écrire D^n=P^{-1}.A^n.P ?

Pouvez-vous m'expliquer ?

Merci

Posté par
raymond Correcteur
re : Puissance de matrice 16-03-10 à 09:14

\textrm D = P^{-1}.A.P \Longrightarrow \ D^2 = P^{-1}.A.P.P^{-1}A.P = P^{-1}.A^2.P

Posté par
MacErmite
re : Puissance de matrice 17-03-10 à 14:56

Merci, je comprends mieux ce qui se passe à présent.

Posté par
raymond Correcteur
re : Puissance de matrice 17-03-10 à 20:23

Bonne soirée.



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