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Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 17:51

Tu as juste un problème de signe: pourquoi as-tu inversé les bornes ?

Autrement c' est bon

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 17:54

Ah

Bah la borne 0 est après changement de variable 1
La borne \fr{\pi}{2} est après changement de variable 0 non?

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 17:57

Voyons, t=\tan \,\frac{x}{2}

Si x=\frac{\pi}{2}, t= ?

et si x=0 ?

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 18:02

Ah lol j'ose même pas dire ce que j'ai fais pour trouver les bornes..

Bon je me met à la deuxième intégration que tu m'as proposé

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 18:03

(Et pour répondre aux questions, si x=\fr{\pi}{2} alors t=1 et si x=0 alors t=0 )

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 19:40

Je suis bloqué pour la deuxième ..

4$\rm \Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} \ \fr{sin^3(x)}{1+acos(x)} \ dx et a>-1

Je pose 4$t=cos(x)

Et j'ai donc 4$\Bigint_0^1 \ (1-t^2)(1-t^2}{1+at} \ dt

C'est un bon début déja ?

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 19:41

Oups ,

4$\Bigint_0^1 \ \fr{(1-t^2)(1-t^2)}{1+at} \ dt

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 00:36

Tu as du faire une erreur;

Avec t=\cos\,x (et c' est bien le changement de variable idoine):

I=\Bigint_0^1\frac{1-t^2}{1+at}\,\text{d}t

Posté par
HypoTaupere : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 01:29

tiens, j'ai celle-ci: qui est assez complête
dx/(1-xn) pour n=1;2;3;4.

ensuite, pour n=7 et p=1, cherche une astuce de réduction: du type Ip=f(I(p-1)); avec Ip=dx/(1-xn)p

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 12:04

Ahh quel étourdie que je suis .. je me suis trompé dans le \blue dx et \blue dt ...

(Désolé si je m'enmêle un peu les pinceaux )

Ben du coup pour la suite je m'en sors mieux   :

4$\Bigint_0^1 \ \fr{1-t^2}{1+at} \ dt=\Bigint_0^1 \ \fr{1}{a^2}\times \(\fr{a^2-a^2t^2+at-at}{1+at}\) \ dt \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\Bigint_0^1 \ \fr{1}{a^2}\times \( -at+1+(a^2-1)\times \fr{1}{1+at} \) \ dt \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\fbox{\Bigint_0^1 \ \fr{1}{a^3}\times \( -a^2t+a+(a^2-1)\times \fr{a}{1+at} \) \ dt}

J'ai donc 4$\red \[\fr{(a^2-1)\ell n |1+at|}{a^3}+\fr{t}{a^2}-\fr{t^2}{2a}\]_0^1

Au final j'ai :

4$\blue \fbox{\fbox{\fr{(a^2-1)\ell n |a+1|}{a^3}+\fr{1}{a^2}-\fr{1}{2a}}}

Voilà en espérant que j'ai juste

Merci HypoTaupe je les ferais après l'exercice que cailloux m'a proposé

D'ailleurs pour la première question,

On sait que 4$\blue f est continue sur 4$\blue [a;b] donc 4$\blue f(a+b-x) l'est aussi sur ce même intervalle puisque 4$\blue x varie entre 4$\blue a et 4$\blue b

Ceci nous permet d'avancer que 4$\blue f(x) et 4$\blue f(a+b-x) ont des primitives

Notons 4$\blue F une primitive de la fonction 4$\blue f,

On a donc 4$\blue \Bigint_a^b \ f(x) \ dx = \fbox{F(b)-F(a)}

Dans 4$\blue \Bigint_a^b \ f(a+b-x) \ dx on fait le changement de variable 4$\blue t=a+b-x donc 4$\blue -dt=dx
Ainsi on a 4$\blue \Bigint_b^a \ f(t) -dt=\Bigint_a^b \ f(t) dt=\fbox{F(b)-F(a)}

D'ou 4$\red \fbox{\fbox{\Bigint_a^b \ f(x) \ dx =\Bigint_a^b \ f(a+b-x) \ dx}}


Pour le calcul de 4$I je vais regarder tout de suite

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 12:48

Parfait!

Note que vu que l' on avait supposé a>-1, tu pouvais te passer de la valeur absolue.

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 12:51

... et que le cas a=0 est à examiner à part...

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 13:05

Ouais c'est vrai mais j'essaye de prendre l'habitude de la mettre pour pas que ça me joue des tours l'année prochaine

Parcontre je n'avais pas pensé au cas ou 4$a=0

Dans ce cas là on a alors 4$\Bigint_0^1 \ 1-t^2 \ dt =\[t-\fr{t^3}{3}\]_0^1=\fr{2}{3}

Merci

Pour la suite de l'exercice que tu m'as proposé j'ai une piste mais je suis allé manger entre temps donc on vera si elle va aboutir

5$\rm Merci beaucoup encore une fois de prendre du temps pour moi

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 13:40

Petite question, juste pour savoir si je ne pars pas dans le décors

J'ai bien de l'\text{arcsinus} un moment?

Pas besoin d'indice pour le moment juste savoir si oui ou non

Merci d'avance

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 13:47

Lol nan c'est bon j'ai trouvé une faute dans mon raisonnement..

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 14:22

Juste une petite remarque:

Quand on a une intégrale bornée à calculer, on n' est pas obligé de passer par l' intermédiaire des primitives...

Dans le même ordre d' idée que la précédente:

I=\Bigint_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,\text{d}x

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 15:58

Ah je crois avoir trouvé

On nomme 4$I=\Bigint_0^{\pi} \ \fr{xsin(x)}{1+cos^2(x)} \ dx

On sait d'après la question précedente que 4$I=\Bigint_0^{\pi} \ \fr{(\pi-x) \sin(x)}{1+cos^2(x)}\ dx

Car l'intégrande est continue sur 4$\blue [0;\pi]

On a donc 4$\blue I=\Bigint_0^{\pi} \ \fr{\pi \sin(x)}{1+cos^2(x)} \ dx -I

D'où 4$\blue 2I=\pi \Bigint_0^{\pi} \ \fr{\sin(x)}{1+cos^2(x)} \ dx

Ainsi 4$\blue 2I=\pi \[-\text{arctan}(cos(x))\]_0^{\pi}

On a donc 4$\blue 2I=-\pi( \text{arctan}(-1)-\text{arctan}(1))=\pi \times \fr{\pi}{2}

Alors 4$ \red \fbox{\fbox{I=\fr{\pi^2}{4}}}

Voilà Voilà j'éspère que c'est bon

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 16:09

Tout bon

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 16:15

Nickel C'est parti 4$\Bigint_0^1 \ \fr{ln(x+1)}{x^2+1} \ dx

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 16:26

Normalement, sur celle ci, tu dois caler ...

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 16:44

On verra

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 16:58

Pour l'instant je n'arrive qu'à l'encadrer .. mais pas la même chose de chaques côtés ^^

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 17:07

C'est possible d'avoir,

4$\[-\fr{1}{2}ln(x^2-2x+2)-arctan(1-x)\]_0^1 ??

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 17:21

Lool nan c'est bon j'ai rien dis..

Posté par
HypoTaupel' "essence" de cailloux 01-06-09 à 18:01

Bonjour olive_68,

Tout d'abord, je m'excuse de ne pas avoir remarqué que tu n'es qu'en Terminale. Tu as raison de te méfier des valeurs absolues: de la rigueur avant tout.

Bravo pour l'exercice que cailloux t'a proposé et qui méritait une attention particulière.

\Bigint_a^b f(x) dx = \Bigint_a^b f(a+b-x) dx

devient, pour a=0
\Bigint_0^b f(x) dx = \Bigint_0^b f(b-x) dx

Dans le même style on demande de Calculer

\Bigint_a^{\frac{\pi}{2}} log[tg(x)]dx

Posté par
HypoTaupeRègles de Bioche 01-06-09 à 18:12

C'est bien que cailloux t'ai expliqué et fourni les règles de Bioche. Très pratiques et efficaces. Maintenant cailloux peut te donner plein d'astuces puisque il a priori réussi son concours. olive_68, fait-en un allier puissant.

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 19:20

Salut HypoTaupe

Citation :
je m'excuse de ne pas avoir remarqué que tu n'es qu'en Terminale

\to Hé c'est pas grave Pour l'instant je ne sais pas si il y avait beaucoup d'intégrale niveau terminal dans ce topic

Merci beaucoup pour tes exercices et tes conseils

Et bienvenue sur l'île !!


Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 19:28

Alors c'est bon je suis chaud pour celle que tu m'as proposé

On remarque que par le changement de variable 4$x\to x+\pi, 4$\tan (x+\pi)=\fr{\sin (x+\pi)}{\cos (x+\pi)}=\fr{- \sin (x)}{- \cos (x)}=tan(x)

Donc l'intégrande reste identique, Il est donc conseil de poser 4$t=tan(x).

Mais je suis viens de voir les bornes de l'intégrales et ça me fait mal..

Je vais donc poser 4$t=\tan (\fr{x}{2})

Donc 4$dt=\fr{2 \ dx}{1+t^2}

Les bornes deviennent 4$\tan (\fr{a}{2}) et 4$1

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 19:31

Oups ça  posté je sais pas pourquoi...

Bon pour continuer,

J'ai donc 4$\Bigint_{\tan (\fr{a}{2})}^1 log(t) \times \fr{2}{1+t^2}dt

Et je me retrouve devant le même problème que celui que cailloux m'a proposé précédement..

Peut-être je me suis trompé dans le dt ? c'est peut-être 4$dx=\fr{1+t^2}{2}dt qu'il faudrait utiliser?

Merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 21:32

>> Olive

Il y a une erreur de frappe dans l' intégrale d' Hypo taupe :

I=\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\tan\,x)\,\text{d}x

La borne inférieure est nulle.

En admettant que l'on passe pudiquement que le problème en la borne \frac{\pi}{2} car il y en a un, il faut utiliser:

\Bigint_{0}^af(x)\,\text{d}x=\Bigint_0^af(a-x)\,\text{d}x

Comme l' a rappelé Hypo taupe à 18h01 et qui est un cas particulier de ce que tu avais démontré avant.

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 21:37

D' ailleurs, il y a le même problème en 0...

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 21:46

>> HypoTaupe,

Pour celle que tu m'avais proposé à savoir 4$\Bigint \ \fr{dx}{1-x^n}

10$\fbox{\star}   Pour 4$n=1

On a immédiatement comme primitive 4$-\ell n|1-x|

10$\fbox{\star}   Pour 4$n=2

On fait une décomposition en produit de facteur premier, 4$1-x^2=(1-x)(1+x)

J'obtiens comme primitive 4$\fr{1}{2}\ell n \| \fr{1+x}{1-x} \|

10$\fbox{\star}   Pour 4$n=3

On fait à nouveau une décomposition en produit de facteur premier, 4$1-x^3=-(x+1)(x^2+x+1)

Je fais les calculs et je posterais mon résultat plus tard car les calculs sont bien trop long à écrire je vois :S

Voilà en espérant avoir bon

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 21:58

Ah oui merci je n'avais pas compris que cette relation allait me servir je pensais qu'il souhaitait me montrer un cas particulier ^^

Ben puisque :

       4$I=\Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} \ ln(tan(x)\) \ dx=\Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} \ ln\(tan \(\fr{\pi}{2}-x\ )\) \ dx

Et que 4$tan \(\fr{\pi}{2}-x \)=\fr{cos(x)}{sin(x)}=\fr{1}{tan(x)}

Donc que 4$\Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} \ ln \(tan \(\fr{\pi}{2}-x \) \) \ dx=\Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} \ -ln\(tan (x)\) \ dx

On a 4$2I=0 donc 4$I=0

Mais cette fonction n'est pas définie en 4$0 et 4$\fr{\pi}{2} Peut-on alors quand même utiliser cette "règle" ??

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 22:17

Oui: 0 mais on ne peut pas procéder comme ça:

Avec le changement de variable: t=\frac{\pi}{2}-x, on prouve que:

\Bigint_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\tan\,x)\,\text{d}x=-\Bigint_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}-\varepsilon}\ln(\tan\,x)\,\text{d}x ...

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 22:18

Bien que ça revienne au même, j' aurais du écrire:

\Bigint_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\tan\,x)\,\text{d}x=-\Bigint_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}-\varepsilon}\ln(\tan\,t)\,\text{d}t

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 22:24

Ah Ok c'est une intégrale impropre en fait c'est ça ?

Parcontre c'est vrai que pour celle de cette après-midi c'est vrai que j'épuise un peu tout ce que j'ai en stock..

J'ai éssayé de l'encadrer etc et je ne trouve rien de concluant..

Petit indice ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 22:27

Commence par le changement de variable x=\tan u

Ensuite, tu pourras appliquer \Bigint_{0}^af(x)\,\text{d}x=\Bigint_0^af(a-x)\,\text{d}x

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 22:42

Woow Lool Franchement faut y penser !! Pas mal, pas mal

Si j'ai bien compris, le commencement donne :

On pose 4$x=tan(u) donc 4$dx=(1+tan^2(u))du

On a donc 4$\Bigint_0^{\fr{\pi}{4}} \ \ell n(1+tan(u)) \ du

Bon départ ?? Merci encore

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 22:43

Très bien...

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 23:09

Lol désolé je post ce que je trouve un peu plus loin car c'est carrément nul enfin je me demande si c'est pas pire que au départ lol

Possible que je me retrouve avec du 4$\Bigint_0^{\fr{\pi}{4}} \ \ell n \| \fr{2cos(x)}{sin(x)+cos(x)}\| \ dx =\Bigint_0^{\fr{\pi}{4}} \ \ell n \|\fr{cos(x)+sin(x)}{cos(x)}\| \ dx \ ??

Désolé, mais le résultat me paraît bisard..

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 23:15

Tu as eu tort de repasser en sinus et cosinus:

Tu dois avoir:

I=\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln(1+\tan\,u)\,\text{d}u=\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln\left(\frac{2}{1+\tan\,u}\right)\,\text{d}u

Il n' y a plus grand chose à faire...

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 23:30

Ah mais c'était pour utiliser le 4$\Bigint_0^{\fr{\pi}{4}} \ f(x) \ dx=\Bigint_0^{\fr{\pi}{4}} \ f(\fr{\pi}{4}-x) \ dx

J'ai donc dis que 4$\fr{\pi}{4}-x=(\fr{\pi}{2}-x)-\fr{\pi}{4}

Et donc que 4$tan(\fr{\pi}{4}-x)=\fr{\fr{\sqrt{2}}{2}(sin(\fr{\pi}{2}-x)-cos(\fr{\pi}{2}-x))}{\fr{\sqrt{2}}{2}(sin(\fr{\pi}{2}-x)-cos(\fr{\pi}{2}-x))}=\fr{cos(x)-sin(x)}{cos(x)+sin(x)}=-1+\fr{2cos(x)}{cos(x)+sin(x)}

Ahh je crois avoir capté..

4$\ell n \| \fr{2cos(x)}{cos(x)+sin(x)} \|=-\ell n \|\fr{cos(x)+sin(x)}{2cos(x)}\|=-\ell n \|\fr{1+tan(x)}{2}\|=\ell n \| \fr{2}{1+tan(x)} \|

... Je n'avais plus pensé à cette particularité du logarithme ..

Bah au final on en conclue que la réponse est de 4$\fr{\ell n (2)}{2} non ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 23:52

Il est plus simple de rester avec la fonction tangente:

\tan\left(\frac{\pi}{4}-u\right)=\frac{\tan\,\frac{\pi}{4}-\tan\,u}{1+\tan\,\frac{\pi}{4}\,\tan\,u}=\frac{1-\tan\,u}{1+\tan\,u}

Si bien que:

1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-u\right)=\frac{2}{1+\tan\,u}

Pour la fin, tu as oublié d' intégrer la constante \ln(2) sur [0,\frac{\pi}{4}]

On obtient I=\frac{\pi}{8}\ln(2)

L' était pas mal celle là ?

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 01-06-09 à 23:59

Arf .. mais oui j'ai pas intégré le 4$\ell n(2)...

Je ne connaissais pas cette formule avec la tangente, juste avec le sinus et le cosinus

Ouais franchement elle était jolie j'aurais bien voulu savoir la résoudre du premier coup ^^

Quand tu l'as vu pour la première fois tu as su faire ça de suite ?!?!
Faut vraiment être sensible pour voir ce qui va apparaître ..

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 02-06-09 à 00:05

Citation :
Quand tu l'as vu pour la première fois tu as su faire ça de suite ?!?!


Très franchement, je ne me souviens pas

Mais me connaissant, je doute que je l' aie faite à l' époque...

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 02-06-09 à 00:09

Ah Ok ^^

Si tu en as d'autres des trucs comme ça, je suis biensur preneur

Enfin si tu as encore envie de continuer ce topic biensur

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 02-06-09 à 00:31

Une dernière pour ce soir:

n est un entier positif.

Calculer I=\Bigint_0^1\frac{1-(1-x)^n}{x}\,\text{d}x de 2 manières différentes pour en déduire l' égalité:

\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\Bigsum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\,\frac{\left(n\\k\right)}{n}

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 02-06-09 à 00:32

Zut!

\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\Bigsum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\,\frac{\left(n\\k\right)}{k}

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 02-06-09 à 00:38

Il à l'air pas mal cette exercice

Posté par
HypoTaupeLes fonctions trigonométriques élémentaires 02-06-09 à 04:29

Bonjour olive_68, et le Pierre le correcteur.

Excellent pour les premières primitives de la série

\Bigint \frac{dx}{(1-x^n)}

On constate que les calculs deviennent redoutables dès que n > 3. Si tu aimes les calculs, continue jusqu'à n= 5 ou 6 voire n=7.

Pour l'exercice
\Bigint_a^b f(x) dx = \Bigint_a^b f(a+b-x) dx
essaye de le démontrer sans utiliser la notion de Primitive " F(b) - F(a)", pour rester dans le sens philosophique de l'énoncé de cailloux.

Je reviens sur l'intégrale
\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}} log[tan(x)] dx
pour laquelle on utilise le résultat précédent.

Tu fais bien de remarquer qu'il existe des problèmes de convergences aux bornes d'intégration: tu apprendras cela en Sup. et tu devras y attacher une priorité absolue.

Je ne connais pas la définition de l'intégrale définie que l'on utilise actuellement en Term. mais si c'est du style

\Bigint_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) où F est une primitive de f, c'est insuffisant pour étudier les limites en 0 et pi/2. Il faut bien différencier Intégrales et Primitives qui sont deux notions différentes.

En tout état de cause, on peut écrire:

soit f(x)=log[tan(x)] définie sur ]0,\frac{\pi}{2}[

puis, exprimant tan(\frac{\pi}{2}-x) en fonction de tan(x) et Cot(x) (ça j'ai oublié)

on doit obtenir

log[tan(\frac{\pi}{2}-x)]=0

et affirmer que l'intégrale d'une fonction nulle sur un intervalle borné est nulle (la démonstration de cette assertion dépendra de la définition de l'intégrale définie dont nous disposons).

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