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Niveau Maths sup
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Quelques primitives à me faire calculer ??

Posté par
olive_68 18-05-09 à 18:28

Bonjour à tous !

J'aurais aimé savoir si vous aviez quelques primitives en stock à me faire calculer ??

En fait j'aimerais bien m'exercer sur les primitives où l'on utilise l'arctangente mais je suis preneur de toute(s) primitive(s) qui vous semble interressante ..

Par exemple : Des primitives de 4$\fr{x}{x+1} ou bien de 4$\fr{x^2+x}{x^2+1} demandent une petite astuce pour les calculer ..

Voilà Voilà 3$\rm Merci d'avance (En éspérant que j'ai posté au bon endroit du forum.. )

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 18:43

Bonjour olive,

Par exemple f(x)=\frac{x^2}{x^4+1}

Mais il faudra passer par une décomposition en éléments simples...

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 18:51

Salut cailloux

Merci ! Je vais regarder ça Pour la décompo en élément simple je sèche pour l'instant, mais chut ^^ je vais regarder ce que ça donne

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 19:05

Il est utile de remarquer que:

x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2-x\sqrt{2}+1)(x^2+x\sqrt{2}+1) ...

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 19:06

Je crois avoir trouvé en fait comment factoriser au dénominateur pour pouvoir décomposer

Je fais les calculs et je te dis ce que je trouve

Merci encore  !

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 19:07

Lol j'avais pas vu ton post mais c'est exactement ce que je venais de voir!!

Déjà je vois que je suis bien parti

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 19:23

Bon je crois que je suis sur la bonne voie, je vais manger et je te post ce que j'ai trouvé

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 19:37

Dans un autre genre: f(x)=x[\arctan(x)]^2

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 20:03

Après moulte calcul,

4$\fr{\sqrt{2}}{8}ln|x^2-\sqrt{2}x-\fr{\sqrt{2}}{8}ln|x^2+\sqrt{2}x+1}+\fr{1}{4}arctan(\sqrt{2}x+1}+\fr{1}{8}arctan(\sqrt{2}x-1)

Si tu me dis que j'ai faux je te dis que je suis degouté !! Lol

Merci pour la deuxième je vais tenter

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 20:07

Lol pardon j'ai fais le kéké dans la notation,

Je vais mettre 4$\sqrt{2} en facteur puisque je l'ai oublié aux autres..


4$\fr{\sqrt{2}}{8}\(ln|x^2-\sqrt{2}x+1|-ln|x^2+\sqrt{2}x+1|\)+\fr{\sqrt{2}}{8}\(2arctan(\sqrt{2}x+1)+arctan(\sqrt{2}x-1)\)

Voilà maintenant c'est mieux ecris

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 20:27

Pour la deuxième que tu m'as proposé j'ai fais une intégrations par partie

   J'ai posé 4$u'(x)=x et pour simplifier les calculs 4$u(x)=\fr{x^2+1}{2}

Puis j'ai du en refaire une pour trouver une primitive de arctangente

Au final j'obtiens,

          4$\fr{x^2+1}{2}arctan^2(x)-xarctan(x)+\fr{1}{2}ln(x^2+1)


Niveau calcul c'est un cadeau par rapport à celle d'avant

C'est juste?  

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 21:08

Je n' ai que deux mots à dire: très bien!

Juste une petite erreur à la première (qui doit être une fôte de frappe):

Citation :
4$\fr{\sqrt{2}}{8}\(ln|x^2-\sqrt{2}x+1|-ln|x^2+\sqrt{2}x+1|\)+\fr{\sqrt{2}}{8}\(2arctan(\sqrt{2}x+1)+arctan(\sqrt{2}x-1)\)


Plutôt:

4$\fr{\sqrt{2}}{8}\(ln|x^2-\sqrt{2}x+1|-ln|x^2+\sqrt{2}x+1|\)+\fr{\sqrt{2}}{4}\(arctan(\sqrt{2}x+1)+arctan(\sqrt{2}x-1)\)

Pour un élève de TS tu te défends! chapeau!

J' en ai tout un wagon en réserve mais il y en a beaucoup qui nécessitent un voire plusieurs changements de variables. Donc il faut que je fasse le tri .... à moins que ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 21:17

Une petite sans trop de difficultés:

f(x)=\frac{x\ln(x)}{(1+x^2)^2}

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 21:20

Citation :
Pour un élève de TS tu te défends! chapeau!


Merci beaucoup !! C'est très encouragent !! Ca donne envie de continuer à faire des maths

Parcontre pour la faute c'était une faute d'étourderie dans mon calcul...

Ben pour l'instant je ne connais pas trop les changements de variables.. J'ai compris comment montrer que:

       4$\Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} \ sin^n(x) \ dx=\Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} \ cos^n(x) \ dx

En posant 4$u=\fr{\pi}{2}-x et donc après on a 4$\fr{du}{dx}=-1 donc 4$du=-dx et on met le moins devant l'intégrale

Mais par exemple quand on a du 4$\sqrt{1-x^2} je sais qu'il faut poser 3$x=cos(t) mais après aucune idée comment faire pour le 4$dt et 4$dx ..

J'ai posé la question ici Intégrale pas si facile...(Bas du topic) Mais on ne m'avais pas répondu ..

Donc à la limite si tu me disais le principe (Si ça te déranges pô et que tu m'en sors des pas trop méchantes pour commencer je serais super content d'apprendre

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 21:28

Tu en as une autre au dessus (sans changement de variable).

Je te prépare quelque chose sur le changement de variable...




Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 21:34

Voilà finito

Je pense avoir trouvé

4$-\fr{ln(x)}{x^2+1}+ln(x)-\fr{1}{2}ln(x^2+1)

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 21:37

(J'ai vu un truc qui ressemblait à du \fr{u^'}{u^2}  j'ai donc dérivée -\fr{ln(x)}{x^2+1} puis j'avais la primitive à trouver et une autre terme qui se trouvait facilement en décomposant en élément simple .., je sais pas si il y avait une autre méthode ..^^)

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 21:55

Ah j'avais pas vu ton post

4$\rm Merci Merci beaucoup !! C'est vraiment sympa de ta part , Ne te fatigue pas trop non plus hein

En tout cas je te promet que ce ne sera pas des efforts pour rien

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 22:15

Je te donne le principe:

Soit \varphi une fonction dérivable à dérivée continue sur [a,b] (on dit une fonction de classe C^1 sur [a,b]) et f une fonction continue sur \varphi ([a,b]):

On a: \Bigint_a^b(f\circ \varphi)(t)\varphi'(t)\,\text{d}t=\Bigint_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(u)\,\text{d}u

Au premier abord, ça peut paraître un peu fumeux mais rien ne vaut un exemple et un calcul pratique:

Soit à calculer I=\Bigint_{0}^{1} \sqrt{1-u^2}\,\text{d}u

La courbe d' équation y=\sqrt{1-x^2} sur [0,1] est le quart de cercle de centre O et de rayon 1 du premier quadrant.

Avec des considérations d' aires, on a immédiatement I=\frac{\pi}{4}

Calculons I avec la méthode du changement de variable:

Posons u=\sin\,t

La fonction \varphi est ici la fonction \sin continuement dérivable sur [0,\frac{\pi}{2}]

En pratique, on écrit:

u=\sin\,t et \text{d}u=\cos\,t\,\text{d}t (en dérivant).

d' où I=\Bigint_{0}^{1} \sqrt{1-u^2}\,\text{d}u=\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin^2t}\;\cos\,t\,\text{d}t

I=\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2t\,\text{d}t

La partie changement de variable est terminée; reste un petit calcul:

I=\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1+\cos\,2t}{2}\right)\,\text{d}t

I=\left[\frac{t}{2}+\frac{\sin\,2t}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4} qui est bien le résultat attendu.

Si l' on a affaire à un calcul de primitive, on peut s' y prendre de la même manière sur des intervalles ad hoc où la fonction \varphi vérifie les hypothèses du théorème ( comme pour le calcul de primitives avec une IPP).

La difficulté est dans le choix du changement de variable.

La règle de Bioche nous l' indique dans le cas de fonctions composées de fonctions circulaires.

Mais les trois quart du temps, c' est le pif (ou l' expérience pour les gens sensibles ) qui déterminent le choix.

Calculer I=\Bigint_0^{2a}\sqrt{2ax-x^2}\,\text{d}x

Il faut essayer; je te donnerai le changement de variable un peu plus tard si tu sèches...

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 22:19

5$\rm Waooww Merci Beaucoup !! Topic qui va dans mes favoris ^^

Je vais m'attaquer à la lecture Vraiment sympa de ta part !!

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 22:19

5$\rm Waooww Merci Beaucoup !! Pardon ^^

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 22:36

4$-\fr{ln(x)}{x^2+1}+ln(x)-\fr{1}{2}ln(x^2+1)

Je crois qu' il manque un coefficient \frac{1}{2} pour le tout.

Mais c' est encore très bien.

Tu aurais pu commencer par une IPP en posant u=\ln(x)

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 22:42

J'ai une piste

Donc si y a moyen que tu ne me donne pas le changement de variable à faire ce serait cool

Que je voye si je tiens le bon bout (Mais rien de plus sur lol)

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 22:45

Ah bon ?? J'ai redérivée le bête et je suis arrivé à ce que je devais trouvé de nouveau..

J'aurais pas fais deux pures erreurs deux fois de suite si ?

Ah l'idée ne me serais surement pas venu à l'esprit ici ^^ (Pour L'IPP avec u=ln(t) )

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 22:47

Heu par hasard n'y aurait'il pas plusieurs changements de variable à faire ici ?? ( En locurrence 2 ?)

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 22:54

Citation :
Heu par hasard n'y aurait'il pas plusieurs changements de variable à faire ici ?? ( En locurrence 2 ?)


On peut le voir comme ça

Mais on peut aussi regrouper les 2 en un seul ...

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 22:56

Et je maintiens le coefficient \frac{1}{2} pour l' autre primitive...

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 23:01

Ah je referais les calculs après

Pour celle que tu m'as proposer en dernier j'ai transformé l'écriture en :

       4$|a|\sqrt{1-\(\fr{x-a}{a}\)^2}


Faudrait à mon avis (et surtout grâce à l'exemple que tu ma proposé plus haut) poser 4$sin(t)=\fr{x-a}{a} ?

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 23:21

Lol la blague, le facteur 1/2 je l'avais pas parce que attention , dans mes calculs \fbox{4$\red \fbox{\fbox{\fbox{ \circ \circ > \ \ \ (x^2)^'=x \ \ !!! \ \ \ <\circ \circ }}}}

On va dire que c'est arrivé à tout le monde hein

Bon moi je vais quitté l'ordi parce que j'ai encore vraiment pleins de devoir pour demain ..

Je reviendrais demain avec ma réponse complète

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 23:24

Ta proposition est intéressante dans la mesure où elle n' est pas applicable et permet de voir les erreurs à éviter; en effet, on sort des hypothèses du théorème:

si x décrit l' intervalle [0,2a], \frac{x-a}{a} décrit l' intervalle [-1,1]

La fonction \varphi est ici la fonction t\mapsto \arcsin\,\frac{x-a}{a}

Malheureusement, elle n' est pas dérivable en 0 et 2a et elle n' est donc pas C^1 sur [0,2a] et c' est cuit

Mais l' idée était bonne.

Mieux vaut poser x=a(1-\cos\,t)


Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 18-05-09 à 23:57

Mon post de 23h24 est inepte. Désolé.

la fonction \varphi est la fonction t\mapsto a(1+\sin\,t) et ton changement est parfaitement valable.

Et il marche tout aussi bien que le mien...

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 19-05-09 à 13:36

Salut cailloux

J'ai fais le calcul mais avec deux changements de variables et je pense avoir faux donc je post les calcul.. :

4$\Bigint_0^{2a} \ \sqrt{2ax-x^2} \ dx

L'intégrande est 4$\sqrt{2ax-x^2}=|a|\sqrt{1-\(\fr{x-a}{a}\)}

Donc 4$\Bigint_0^{2a} \ |a|\sqrt{1-\(\fr{x-a}{a}\)} \ dx

On pose 4$\blue x=a(1+t) Donc 4$\blue dx=a \ dt

Donc on a :

4$\Bigint_0^{2a} \ |a|\sqrt{1-\(\fr{x-a}{a}\)} \ dx=\fbox{a|a| \times \Bigint_{-1}^{1} \ \sqrt{1-t^2} \ dt }

Je pose maintenant 4$\blue t=sin(u) donc 4$\blue dt=cos(u) \ du

L'intégrale vaut donc ,

4$ a|a| \times \Bigint_{\fr{-\pi}{2}}^{\fr{\pi}{2}} \ \sqrt{1-sin^2(u)} \ cos(u) \ du =\fbox{ a|a| \times \Bigint_{-\fr{\pi}{2}}^{\fr{\pi}{2}} \ cos^2(u) \ du}

Or l'intégrande est pair et centré en 4$0 donc en utilisant le résultat que tu as obtenu dans ton exemple j'ai au final :

          4$ \red \fbox{a\times |a|\times \fr{\pi}{2}}

Mais ça me parait un peu douteux non ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 19-05-09 à 14:53

Bonjour olive

Je n'ai pas lu ta correspondance avec cailloux (trop discrète ) mais voici ma contribution à ton instruction:

Calculer I=\bigint_0^{\pi/2} e^t\cos(t)dt et J=\bigint_0^{\pi/2} e^t\sin(t)dt

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 19-05-09 à 16:18

Bonjour olive et Camélia

>>olive c' est tout à fait ça

Note que tu aurais pu procéder directement au changement de variable suivant:

x=a(1+\sin\,t) puis \text{d}x=a\cos\,t\,\text{d}t

et remplacer directement dans \sqrt{2ax-x^2} pour arriver au même résultat.

J' en profite pour te parler de la règle de Bioche utile quand on a affaire à des fonctions trigonométriques:

On s' occupe du bloc f(t)\,\text{d}t où f est l' intégrande:

-Si f(t)\,\text{d}t reste identique par le changement t\mapsto -t, on utilise le changement de variable u=\cos\,t

-Si f(t)\,\text{d}t reste identique par le changement t\mapsto \pi-t, on utilise le changement de variable u=\sin\,t

-Si f(t)\,\text{d}t reste identique par le changement t\mapsto \pi+t, on utilise le changement de variable u=\tan\,t

-Si rien ne marche, on utilise le changement de variable u=\tan\,\frac{x}{2}

On se ramène dans tous les cas à des calculs sur des fractions rationnelles.

Regarde déjà les intégrales proposées par Camélia

Tu pourras ensuite te faire les dents sur ceci:

\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\text{d}x}{2+\cos\,x}

\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^3x}{1+a\,\cos\,x}\,\text{d}x avec a>-1






Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 19-05-09 à 22:01

Bonjour Camélia

Camélia >> Merci pour le calcul de d'intégrales que tu m'as proposé

A l'aide d'une double intégration par parties je trouve :

        4$I=\fr{e^{\fr{\pi}{2}}-1}{2}    et     4$J=\fr{e^{\fr{\pi}{2}}+1}{2}

(Bon pas de mérite je les avais eus en contrôle donc je connaissais la méthode ^^ )

Si tu en as d'autre je suis toujours preneur


Cailloux >>  Ah génial Oui comme tu l'avais proposé ça me menait plus vite à la réponse mais comme c'est la première fois que je fais des changements de variables j'ai préféré y aller petit à petit (Je l'ai refait avec le changement que tu proposais par la suite et je suis arrivé au même résultat )

Vraiment super ! Merci cailloux de prendre de ton temps pour m'expliquer tout ça

Mais en fait pour les changements de variables avec des fonctions trigo. il faut utiliser les lignes trigonométrique de ces fonctions (enfin je sais pas si ça s'appel comme ça mais par exemple : 4$cos(x)=\frac{1-(tan^2\(\fr{x}{2}\))}{1+(tan^2\(\fr{x}{2}\))} ) ?? ( J'avais regardé un peu des exemples sur le forum de personne qui avait déjà posté mais bon rien de très détaillé en fait donc je ne sais pas quoi faire une fois le changement de variable déterminée ^^ )

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 19-05-09 à 22:16

Citation :
A l'aide d'une double intégration par parties je trouve :


Oui, bien sûr, mais je ne pense pas que Camélia soit tombée sur le cailloux

Si elle t' a proposé cet exercice, je pense qu' elle a vu, en toute discrétion , qu' il était question de changements de variable.

Bref, cet exercice doit se résoudre sans IPP...mais je laisse à Camélia le soin de te répondre

Pour les lignes trigonométriques en fonction de la tangente de l'arc moitié:

Si on pose t=\tan\,\frac{x}{2}:

3$\{sin\,x=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos\,x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\\tan\,x=\frac{2t}{1-t^2}


Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 19-05-09 à 22:28

Ah j'ai un peu honte là ^^ Je vais les faires sur papier je reviens avec mes réponses

Merci Merci   J'essaye de revenir avec les 4 réponses

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 20-05-09 à 22:13

J'ai pas encore trop eus l'occasion d'y réfléchir à ces calculs d'intégrales mais je lache pas l'affaire

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 20-05-09 à 22:14

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 14:55

Re

Bah pour celle que Camélia m'a proposé je ne vois pas trop :S

Je sens qu'il doit y avoir une fonction trigo dans l'histoire puisque on a du \fr{\pi}{2} dans l'exponentielle dans le résultat mais je n'ai pas une petite idée de quoi poser..

Petit indice ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 15:10

En fait je pensais à la méthode que tu as utilisée... je n'avais pas compris qu'il fallait mettre uniquement des changements de variables! En réalité il y a une méthode bien plus rapide, mais probablement hors programme, mais nous n'en sommes pas à ceci près:

I+iJ=\int_0^{\pi/2}e^t(\cos(t)+i\sin(t))dt=\int_0^{\pi/2}e^{(1+i)t}dt=\frac{e^{(1+i)t}}{1+i}\]_0^{\pi/2}=\frac{e^{(1+i)\pi/2}-1}{1+i}=\frac{(-1+ie^{\pi/2})(1-i)}{2} d'où I et J en sortant la partie réelle et la partie imaginaire.

Bien sur il faut savoir que l'on a le droit de traiter l'exponentielle complexe pareil que la réelle...

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 15:23

Ah oui c'est bien ce que mon professeur de maths m'avait expliqué \to Que c'était la partie réel de 4$e^{(1+i)t}


Citation :
En fait je pensais à la méthode que tu as utilisée... je n'avais pas compris qu'il fallait mettre uniquement des changements de variables!


\to Il ne faut pas uniquement mettre des changements de variables A la base j'ai créé le topic pour que chacun y poste un calcul de primitive ou d'intégrale qui lui semblait intérressant à cause de la méthode de résolution ..

Merci beaucoup

Petite question tout de même, C'est quand même possible de faire un changement de variable pour les intégrales que tu m'as proposé ?

Si tu en as encore d'autres ?

Parcontre cailloux pour la première que tu m'as proposé, je suppose que le tout doit rester identique ?

Car en fait si je fais le changement t\to -t je retrouve l'opposé de l'intégrale de départ
Je me demandais donc si j'avais le droit de sortir de le signe moins de l'intégrale pour pouvoir utiliser les règles de Bioche

4$\rm Merci encore

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 15:30

Citation :
pour la première que tu m'as proposé, je suppose que le tout doit rester identique ?


Oui et x\rightarrow -x donne \frac{-\text{d}x}{2-\cos\,x}

C' est à dire rien de bon.

Pour x\rightarrow \pi-x ou x\rightarrow \pi+x rien de bon non plus.

Bref, la misère: reste le changement de variable t=\tan\,\frac{x}{2}

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 15:32

rôôhh! \frac{-\text{d}x}{2+\cos\,x}

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 15:32

Ah voilà On ne peut donc pas sortir le - de \fr{-dx}{2+cos(x)} de l'intégrale

Ok Ok

Bon bah c'est partie alors ^^ je mis met

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 15:33

Lol et moi j'ai oublié les balises 4$ \fr{-dx}{2+cos(x)}

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 16:48

Un petit exercice:

Soit f une fonction continue sur [a,b]

Montrer que \Bigint_a^bf(x)\,\text{d}x=\Bigint_a^bf(a+b-x)\,\text{d}x

Calculer I=\Bigint_0^{\pi}\frac{x\,\sin\,x}{1+\cos^2\,x}\,\text{d}x

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 16:51

Re

Je bloque totalement sur un truc.. si je fais le changement de variable 4$t\to tan(\fr{x}{2})

J'ai 4$cos(tan(\fr{x}{2}))

Et ça c'est un pur mystère pour moi :S

Posté par
cailloux Correcteurre : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 16:56

Ah non, on a \cos\,x et tu fais le changement de variable t=\tan\,\frac{x}{2}

Si bien que \cos\,x=\frac{1-t^2}{1+t^2} (voir plus haut à 22h16): 3$\{sin\,x=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos\,x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\\tan\,x=\frac{2t}{1-t^2}

Posté par
olive_68re : Quelques primitives à me faire calculer ?? 31-05-09 à 17:38

Ah lol c'est bon ..

Je viens de comprendre où on voulait en venir

Bah là,

On pose 4$t=\tan\(\fr{x}{2}\) On a donc 4$dt=\fr{1}{2}(1+t^2)dx donc 4$\fr{2}{1+t^2}dt=dx

Donc l'intégrale devient :


     4$\Bigint_{1}^{0} \ \fr{1}{2+\fr{1-t^2}{1+t^2}} \ \fr{2}{1+t^2}dt

Soit 4$\Bigint_{1}^{0} \ \fr{1}{\fr{3+t^2}{1+^t^2}} \ \fr{2}{1+t^2}dt

Donc 4$\Bigint_{1}^{0} \ \fr{2}{t^2+3} \ dt

Ce qui est égale à,  4$-\[\fr{2\sqrt{3}}{3}arctan(\fr{\sqrt{3}x}{3})\]_0^1=-\fr{\pi\sqrt{3}}{9}

Paraît bisard..

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