Salut

1) Oui c'est bien ça.

2) Un représentant de la classe c'est simplement un élément de Z appartenant à cette classe. Mais communément on choisit les représentant de Z/nZ de 0 à n-1.

3) c'est la classe à laquelle appartient n, je ne vois pas ce qu'on pourrait dire d'autre.

Bonjour.

Soit n un entier strictement positif.

Pour tout élément a de Z, la division de a par n donnera un reste compris entre 0 et n-1.

L'idée est la suivante : classons les éléments de Z suivant leurs restes dans la division par n.

Classe de 0 : tous les entiers ayant 0 pour reste dans la division par n (donc, tous les multiples de n)

Cette classe se note : .

Classe de 1 : tous les entiers ayant 1 pour reste dans la division par n (donc, tous les multiples de n + 1)

Cette classe se note : .

Jusqu'à :

Classe de n-1 : tous les entiers ayant n-1 pour reste dans la division par n (donc, tous les multiples de n + n-1)

Cette classe se note : .

L'ensemble { , , . . . , } se note Z/nZ.

merci tout les deux,c'est exactement ce que je pensais.

Autre chose, y at-il un moyen plus simple de représenter les éléments de Z/nZ ?
(point de vue géométrique)


en fait,j'avais pensé à la rotation de centre 0 d'angle 2pi/n...mais peut-on dire que

Z/nZ={1,r,r²,..,r^(n-1)}?

Je ne comprends pas trop ce que tu veux faire.

Les éléments de Z/nZ tu peux les manipuler comme des nombres vu que le groupe quotient est en fait un anneau.

Comment ça les représenter "plus simplement" ?

moi non plus,c'est une question du jury du capes...

mot pour mot:

"Pour les gens qui ne connaissent pas ces anneaux Z/nZ,voyez-vous une façon plus simple de les représenter?"

vlà la question!

Bah on peut faire simple :

"Les éléments de Z/nZ sont représentés par les entiers de 0 à n-1"

ok trés bien
Merci!

J'ten prie

Salut.

Tu peux en même insister sur le caractère cyclique du groupe, en remarquant que quand on rajoute 1 à n-1, on retombe sur 0 !

Bonjour à tous

Je me permets de mettre mon grain de sel. Pour la représentation "plus simple", je penserais bien à les représenter sur un cercle. Plus précisément, on peut prendre n points du cercle unité espacés de manière régulière (du coup, ça renvoie à l'idée des racines n-ième de l'unité et au passage, on peut dire que ces deux groupes sont isomorphes).

Kaiser

Bonjour tout le monde

Oui robby avait pensé à l'idée du cercle (voir plus haut).

Salut Arkhnor et maître Kaiser!

Kaiser, tu veux dire je place 0,1,...n-1 sur le cercle unité?

c'est ce dont je parlais quand je disais rotation de centre 0 d'angle 2pi/n...pour passer d'un point à l'autre,comme pour un polygone convexe à n sommets...

pfff ! Je crois que je vais aller me rendormir !!!

Le groupe multiplicatif des racines n-ièmes de l'unité est isomorphe à Z/nZ
Et chaque racine représente une rotation d'angle 2kpi/n.

ok Arkhnor!

Merci à tous!!

robby > oui, pour ton message de 18h31

Kaiser

ok Kaiser!

Bonjour,
La représentation de Z/nZ en tant que racine nième de l'unité ou en tant que que rotation d'angle 2pi/n (ce qui revient au meme) est parfait si tu t'interesse à la structure de groupe, mais en tant qu'ensemble ça me parait moins pertinent en tant qu'anneau encore moins.

Attention toute fois à dire que finalement Z/nZ c'est plus ou moins {0,1,...,n-1} ça ca me parait une tres mauvaise façon de voir Z/nZ.

Une façon tres simple de se representer Z/nZ, imagine une horloge avec n heures...

Oui sauf qu'on est habitué à faire toutes sortes d'opérations avec es heures et les minutes (modulo 12 ou 60 quoi) et donc pour qqun qui ne sait pas ce que c'est Z/nZ (et qui ne doit donc aps trop savoir ce que sont des racines de l'unité) ca me semble très parlant...Un bon moyen de vulgariser quoi.

oui,c'est vrai, merci bien Rodrigo!
je ne verrais plus Z/nZ comme avant...

Bonjour

Moi-z-aussi je veux participer!

Voilà une autre manière de dire les choses: Savant: cycle d'ordre n
En clair, pour les ignorants: j'ai n objets, 1,2,...,n et je les bouge 1 en 2, 2 en 3 ... et n en 1. (Oui, oui, c'est pareil que les rotations d'angle ). Ensuite, on se demande ou est 1 après qu'on ait fait kn+p fois l'opération? Enfin, je vous laisse développer...

merci Camélia!