Bonjour tout le monde,
j'ai quelques questions (extrait d'un recueil de questions posées à l'oral du capes):
1)Qu'est-ce exactement que ?
2)qu'est-ce exactement qu'un représentant d'une classe?
3)pourquoi écrit-on
pour la 1) j'aurais dit que c'est l'ensemble des restes de la division euclidienne par n ou bien que c'est l'ensemble quotient de par la relation de congruence modulo n,cad l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation de congruence...
y-aurait-il un moyen plus élémentaire de le dire?
pour vous c'est quoi ?
pour la 2) je sais pas l'expliquer clairement.
3)alors là? peut-être pour le différencier de n justement?
pour moi
merci d'avance de vos réponses!
Salut
1) Oui c'est bien ça.
2) Un représentant de la classe c'est simplement un élément de Z appartenant à cette classe. Mais communément on choisit les représentant de Z/nZ de 0 à n-1.
3) c'est la classe à laquelle appartient n, je ne vois pas ce qu'on pourrait dire d'autre.
Bonjour.
Soit n un entier strictement positif.
Pour tout élément a de Z, la division de a par n donnera un reste compris entre 0 et n-1.
L'idée est la suivante : classons les éléments de Z suivant leurs restes dans la division par n.
Classe de 0 : tous les entiers ayant 0 pour reste dans la division par n (donc, tous les multiples de n)
Cette classe se note : .
Classe de 1 : tous les entiers ayant 1 pour reste dans la division par n (donc, tous les multiples de n + 1)
Cette classe se note : .
Jusqu'à :
Classe de n-1 : tous les entiers ayant n-1 pour reste dans la division par n (donc, tous les multiples de n + n-1)
Cette classe se note : .
L'ensemble { , , . . . , } se note Z/nZ.
merci tout les deux,c'est exactement ce que je pensais.
Autre chose, y at-il un moyen plus simple de représenter les éléments de Z/nZ ?
(point de vue géométrique)
en fait,j'avais pensé à la rotation de centre 0 d'angle 2pi/n...mais peut-on dire que
Z/nZ={1,r,r²,..,r^(n-1)}?
Je ne comprends pas trop ce que tu veux faire.
Les éléments de Z/nZ tu peux les manipuler comme des nombres vu que le groupe quotient est en fait un anneau.
Comment ça les représenter "plus simplement" ?
moi non plus,c'est une question du jury du capes...
mot pour mot:
"Pour les gens qui ne connaissent pas ces anneaux Z/nZ,voyez-vous une façon plus simple de les représenter?"
vlà la question!
Salut.
Tu peux en même insister sur le caractère cyclique du groupe, en remarquant que quand on rajoute 1 à n-1, on retombe sur 0 !
Bonjour à tous
Je me permets de mettre mon grain de sel. Pour la représentation "plus simple", je penserais bien à les représenter sur un cercle. Plus précisément, on peut prendre n points du cercle unité espacés de manière régulière (du coup, ça renvoie à l'idée des racines n-ième de l'unité et au passage, on peut dire que ces deux groupes sont isomorphes).
Kaiser
Salut Arkhnor et maître Kaiser!
Kaiser, tu veux dire je place 0,1,...n-1 sur le cercle unité?
c'est ce dont je parlais quand je disais rotation de centre 0 d'angle 2pi/n...pour passer d'un point à l'autre,comme pour un polygone convexe à n sommets...
Le groupe multiplicatif des racines n-ièmes de l'unité est isomorphe à Z/nZ
Et chaque racine représente une rotation d'angle 2kpi/n.
Bonjour,
La représentation de Z/nZ en tant que racine nième de l'unité ou en tant que que rotation d'angle 2pi/n (ce qui revient au meme) est parfait si tu t'interesse à la structure de groupe, mais en tant qu'ensemble ça me parait moins pertinent en tant qu'anneau encore moins.
Attention toute fois à dire que finalement Z/nZ c'est plus ou moins {0,1,...,n-1} ça ca me parait une tres mauvaise façon de voir Z/nZ.
Une façon tres simple de se representer Z/nZ, imagine une horloge avec n heures...
Oui sauf qu'on est habitué à faire toutes sortes d'opérations avec es heures et les minutes (modulo 12 ou 60 quoi) et donc pour qqun qui ne sait pas ce que c'est Z/nZ (et qui ne doit donc aps trop savoir ce que sont des racines de l'unité) ca me semble très parlant...Un bon moyen de vulgariser quoi.
Bonjour
Moi-z-aussi je veux participer!
Voilà une autre manière de dire les choses: Savant: cycle d'ordre n
En clair, pour les ignorants: j'ai n objets, 1,2,...,n et je les bouge 1 en 2, 2 en 3 ... et n en 1. (Oui, oui, c'est pareil que les rotations d'angle ). Ensuite, on se demande ou est 1 après qu'on ait fait kn+p fois l'opération? Enfin, je vous laisse développer...
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