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Niveau Licence Maths 1e ann
question méthode sur densités de proba
Posté par biddle
Un certain nombre d'éxos sur les variables aléatoire partent d'une densité de probabilité f(x) pour une variable aléatoire X.
L''exo propose alors un changement de variable du type Y=f(X), et demande la densité de probabilité de Y.
Faut-il (et est-ce correct?) passer de la densité de probabilité f(x) à la fonction de répartition F(x), pour ensuite déterminer la fonction de répartition de Y, et dériver pour déterminer la densité de probabilité de Y?
Je ne sais pas si c'est bien clair...
oui pardon...Bonsoir....
J'ai déjà posté un exo cet après midi et du coup je n'ai pas recommencé par ce qui est pourtant la moindre des choses.
pas grave... mais c'est préférable de le dire quand même pour ceux qui arrivent et n'ont pas vu tes posts précédents
bon, j'aimerais comprendre ton problème !
tu as une VA X de densité f
et ensuite (j'ai l'impression que tu as deux "f" qui ne jouent pas le même rôle)
c'est bien ce qui me semblait que j'étais pas clair.
Je pars d'une densité de probabilité f(x) d'une v.a. X.
On me donne un changement de variable Y, qui est une fonction de X (du type X^2, ou (X+12)/3...)
et on me demande la densité de probabilité de Y.
Faut-il passer par la fonction de répartition F(X) de X, pour déterminer ensuite la fonction de répartition de Y, et obtenir la densité de probabilité de Y par dérivation de sa fonction de répartition.
Effectivement j'ai parlé de f deux fois, poiur deux choses différentes
pas de règle générale, cela dépend de la fonction que tu appliques !
je note Y=H(X)
il faut repasser par les probas, donc la fonction de répartition !
G(a) = P(Y
a) = P(H(X)a)
tout dépend de ta fonction H .... elle peut ne pas être bijective !
ensuite on obtient la densité g de Y en dérivant sa fonction de répartition G
tu as une exemple concret ?
J'ai un exemple relativement simple, mais je voulais m'assurer de la méthode car j'en ai un autre (beaucoup?) plus compliqué.
1er ex:
f(x)=x2/81 sur -3<x<6, 0 ailleurs
et le changement de variable Y=(12-x)/3 puis Y=X2
la méthode de la fonction de répartition de X, puis Y et dérivation, marche apparament très bien.
2è ex:
f(x)=(9-x2)/36 sur [-3;3], 0 ailleurs
on choisit alors Y=Sup Xi 1<i<n où (X1,...,Xn) est un n-échantillon de X
et on demande la densité de probabilité de Y
en utilisant la méthode dont on parle, je dois dériver un produit de fonction 
1n....
et là je bloque!
doucement... un à la fois !
je ne suis pas sûr de comprendre !
X v.a. de densité f comme tu l'as définie
Y = H(X) avec H(t)=(12-t)²/9
c'est cela ?
non les 2 questions sont indépendantes:
on demande d'abord la densité de proba de Y=(12-X)/3
pui même question avec Y=X2 (prendre la même lettre Y n'est pas judicieux c'est vrai)
bon alors je vais le faire avec H(t)=t²
G(a)=P(Ya)=P(X²a)
si a<0, on a G(a)=0
si a
0 :
G(a) = P(X-
a OU Xa)
=P(X-a) + P(Xa) car événements disjoints
donc
il faut donc distinguer les cas où a36 ; 9a36 et a9
cela correspond à l'idée que tu t'en faisais ?
tout à fait
et une fois la fonction G déterminée, je la dérive pour obtenir la densité de probabilité. c'est correct?
je me suis complétement viandé dans mes inégalités dès le début !!!!
on recommence :
Pour a0
G(a) = P(-a X a)
donc si on dérive on obtient g (densité de Y) :
pour a < 0 : g(a)=0
pour a de 0 à 9 : g(a) = (a)/81
pour a de 9 à 36 : g(a) = (a)/162
pour a > 36 : g(a) = 0
ouf !
voilà
MM
j'aurais probablement fait une erreur dans les bornes, mais c'est la méthode que j'aurais utilisé pour cet exo
pas de quoi...
ce fut un plaisir et cela n'aurait pas duré aussi longtemps si je ne m'étais pas lamentablement gauffré sur la traduction de X²<a !!!
Amicalement,
mm
re-bonjour,
après une bonne nuit de sommeil et de repos pour mon cerveau, j'aurais besoin d'aide sur le 2è exo.
merci d'avance
pour la deuxième, Ya 
i
{1,2,...,n} Xia
et comme les variables Xi sont indépendantes (du moins je présume), on obtient G(a) = le produit des P(Xi a) pour i allant de 1 à n
et comme elles suivent toutes la même loi
on obtient G(a) = [P(Xa)]n = [F(a)]n
si a<-3 c'est 0
si a>3 c'est 1
si -3a3 G(a) = (54 + 27a - a3)n/ (4.3n+2)
on dérive cela et on a g(a)
tes variables Xi suivent bien toutes la même loi non ? donc ont la même fonction de répartition non ?