Annuler
connectez vous
logique en post-bac
- Description de mathématique formelle-termes et relations
- Théorèmes
- Théories logiques
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Loisir LogiqueTopics traitant de logique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Loisir
Question philo
Posté par Jkrplz
Bonjour,
Je ne suis pas très sachant en ce qui concerne le fondement des mathématiques (axiomes etc...) mais une question me taraude aussi j'espère que vous pourrez m'aider.
Voilà la conception que je me fais à mon humble niveau :
les mathématiques sont bâtis sur des choses (désolé pour la terminologie) évidentes mais non démontrables puisque ce sont les premières briques de la logique. Je veux parler des axiomes.
Ensuite à partir de ces briques, on raisonne et on démontre les briques suivantes. Les briques suivantes ne sont plus des axiomes puisque chaque brique provient alors d'autres briques qui proviennent d'autres briques etc... jusqu'aux axiomes.
Ma question : Très bien, mais comment relie t'on les briques entre elles ? En utilisant la logique me direz vous. On décide donc que passer d'une brique à une autre est autorisé si cela est suffisament logique et évident ? On aurait alors un axiome liant (celui qui relie chaque brique à une autre). L'axiome de passage présent en tout point dans toutes les démonstrations ?
Qu'est ce qui me dit que si le fait qu'une propriété en engendre une autre (avec une démonstration hyper bien établie) alors la suivante est bien vraie ? L'évidence ? Et au cœur de la démonstration elle même, comment être certain que chaque étape engendre bien la suivante ? Parce que c'est évident ? C'est encore là une notion abstraite d'évidence et donc on utilise un axiome de liaison entre chaque point de logique ?
J'ai du mal à faire passer mon message, j'espère que j'étais un minimum clair 
Merci
Bonjour,
Je comprends que ton questionnement concerne le système de déduction qui permet de construire des démonstrations logiques. Me trompé-je ?
Les formules mathématiques sont écrites dans un langage formel, à partir de "formules atomiques" de base, au moyen de connecteurs (et, ou, non, implique) et que quantificateurs (pour tout ..., il existe ...)
Les règles d'un système de déduction portent sur le maniement des connecteurs et des quantificateurs.
Un exemple de système de déduction : la déduction naturelle de Gentzen. Tu peux voir une introduction ici : 
. J'esoère que ça répond au moins en partie à ta question.
Bonjour GBZM, merci beaucoup, j'ai du boulot pour comprendre tout ça. En surfant sur le net à partir de tes recommandations je suis tombé sur cette phrase qui semble résumer mon questionnement (qui serait à mieux définir d'ailleurs) :
"Tu ne peux pas expliquer la règle de l'implication sans supposer que je comprends déjà l'implication puisque l'implication est précisément
la notion qui permet d'exprimer des règles."
On aurait un genre d'axiome de passage...
Il y a la notion de Modus Ponens qui semble refléter un peu ma question mais je n'ai eu le temps que d'y jeter un coup d'œil.
J'ai l'impression que tout revient finalement à chaque fois à notre "instinct" (même la logique), les fondements sont toujours issus comme par magie de notre cerveau (comme les axiomes).
Au final cette idée me vient que l'univers que l'on observe est une production de notre cerveau. Il n'y a pas forcément d'extérieur à nous. Et les maths "fonctionnent" dans notre univers produit par notre cerveau car ils sont le reflet de la production logique innée de notre cerveau.
Ne vous embêtez pas trop à répondre à ça, je réfléchis à voix haute 
Bonjour Jkrplz, au vu de ta question, peut-être que l'approche philosophique de la démonstration te conviendra mieux.
Je te recommande la série de 6 épisodes de Monsieur phi qui commence par
Possible que les matheux purs et durs ne valident pas. D'ailleurs si tu as le temps, je suis curieuse d'avoir ton avis à ce sujet GBZM (tu n'apprendras vraisemblablement rien mais je voudrais savoir si tu trouves que c'est suffisamment maths compatibles pour de la vulgarisation).
Super pour la série, merci. Inutile que les matheux purs et durs valident ; si les matheux pédagogues et créatifs le font 
.
Je cite un bout de l'article wiki sur le modus ponens :
"La règle du modus ponens ou de détachement est une règle primitive du raisonnement."
Cette notion de règle primitive semble se rapprocher de la réponse que je recherche (?).
Il y aurait une règle primitive non démontrable, que l'on devrait accepter ?
Je regarde la série sous peu.
Dans le système de déduction naturelle que je mentionnais plus haut, le modus ponens est la règle d'élimination de l'implication :
La déduction du syllogisme en déduction naturelle : des prémisses et
, je déduis
:
Deux éliminations de (modus ponens) et une introduction de
(ou détachement d'hypothèse, indiqué par
).
Ces règles "modélisent" le fonctionnement de l'implication :
1) si on a démontré "A" et aussi "A implique B", alors on a démontré "B". (modus ponens)
2) si on a démontré "C" sous la prémisse "A" et d'autres prémisses "H", alors on a démontré "A implique C" sous les prémisses "H". (déchargement d'hypothèse)
Ça ne me semble pas contradictoire avec le premier épisode de la série mise en lien par Vassilia (je n'ai pas vu les autres).
Si tu ne veux pas tout regarder, il en parle dans le dernier épisode et, selon lui, la règle du modus ponens étant une règle d'inférence, elle relève du méta-langage.
Il se pose donc la question de sa validité dans le méta-langage... et de la régression à l'infini que cela provoque ce qui peut intéresser Jkrplz.
Pour info l'auteur de ces vidéos enseignait la logique mais en philosophie.
Oui. Un petit truc qui ne me plaît pas trop dans cette dernière vidéo est le "Si Napoléon avait gagné Waterloo alors...", qui n'ai évidemment pas le même sens que "Si Napoléon a gagné Waterloo alors ... "
Sinon pas grand chose à redire .