Salut Destin,

la partie imaginaire de la somme s'annule pour les k où la puissance de i est paire, et est négative lorsqu'elle vaut 3 modulo 4. Essaye ainsi, je n'ai pas poussé les calculs mais ca devrait marcher.

Salut yoyodada,

Je ne comprends pas de quel somme tu parles , puisque, ici nous n'avons qu'une seul somme et elle est dans R, enfin je crois ?

Et je ne peux pas passer sous la forme exponentielle dans la grande somme dont nous voulons démontrer l'égalité, car, les puissances sont différentes.^^

Je m'explique:

On est bien d'accord que sin[(2p+1)£] = Im(cos(£)+i.sin(£)]^(2p+1)

En appliquant la formule du binôme on a bien (cos(£)+i.sin(£)]^(2p+1) =
(k=0jusqu'à 2p+1) cos(£)^(2p+1-k)*(i.sin(£))^k*(k parmi 2p+1)

donc sin[(2p+1)£] est la partie imaginaire de cette expression.
Or la partie imaginaire de cette somme est la somme des parties imaginaires des termes de la forme cos(£)^(2p+1-k)*(i.sin(£))^k*(k parmi 2p+1) - toujours clair ??

Or lorsque k est pair, (i.sin(£)) = i^k * sin(£)^k est réel, car i^k est réel(seulement pour k pair).
Il en résulte que les termes de la forme cos(£)^(2p+1-k)*(i.sin(£))^k*(k parmi 2p+1) sont réels lorsque k est pair, donc que leur partie imaginaire est nulle.
On restreint donc la partie imaginaire de cette somme à la partie imaginaire des termes où k est impair, pour les raisons que je viens de citer.
On peut donc poser k = 2m+1

Donc sin[(2p+1)£] = Im ((02m+12p+1) cos(£)^(2p+1-(2m+1))*(i.sin(£))^(2m+1)*((2m+1) parmi 2p+1)
= Im((m=0 jusqu'à p) ((2m+1)parmi(2p+1))*cos(£)^(2p-2m)*i^(2m+1)*sin(£)^(2m+1)
= Im((m=0 jusqu'à p) ((2m+1)parmi(2p+1))*cos(£)^(2p-2m)*i^2m * i * sin(£)^(2m+1)
or i^2m = (i²)^m = (-1)^m.
Donc sin[(2p+1)x] = Im((m=0 jusqu'à p) ((2m+1)parmi(2p+1))*cos(£)^(2p-2m)*(-1)^m * i * sin(£)^(2m+1) , qui est un nombre imaginaire pur, en tant que somme de termes imaginaires purs.

Il vient donc que sin[(2p+1)x] = (m=0 jusqu'à p) ((2m+1)parmi(2p+1))*cos(£)^(2p-2m)*(-1)^m  * sin(£)^(2m+1)

est-ce plus clair ??