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Questions sur corrigé Petites Mines 2008

Posté par
Bladest 22-02-09 à 18:07

Bonjour
J'ai quelques questions à propos du corrigé du sujet des Petites Mines 2008, l'épreuve commune de mathématiques.
J'ai vu quelqu'un se faire supprimer un lien vers le sujet qui lui posait problème et exiger de rédiger l'énoncé pour avoir une réponse... Je vais me risquer à faire comme lui, non pas par provocation, mais parce que mes questions sont précises, ciblées et avec le corrigé entier devant les yeux on sera plus à même de m'aider vu qu'il s'avèrera peut-être nécessaire de connaître les réponses précédentes pour pouvoir m'aider.
Sujet :
Corrigé :

4.a. Pour prouver que B est une base, j'ai compris qu'on doit montrer que la famille B est libre et ... que faut-il prouver d'autre ? Eux, ils prouvent que la famille libre est constituée de 2 éléments de _1[X] qui est de dimension 2 ; est-ce que ça signifie que, pour parler généralement, pour prouver qu'une famille est une base d'un sous-espace vectoriel de dimension n, il suffit de prouver que cette famille est libre et constituée de n éléments de ce sous-espace vectoriel ?

5.a. Pouvez-vous m'indiquer quelle propriété, théorème ou définition permet d'affirmer ça ? Et est-ce que si était une combinaison linéaire des 3 ou 2 premières matrices ce serait aussi un sous-espace vectoriel ? Parce que je ne comprends pas pourquoi c'est avec 4 matrices précisément...

5.c. Je vois ici que pour prouver qu'une famille est une base de , on montre qu'elle est libre et génératrice de . Est-ce que c'est en fait une autre "technique" comparativement à celle utilisée en 4.a. ou bien "famille génératrice de " = "famille constituée de n éléments de de dimension n" ?

8.d. Je ne comprends pas pourquoi ils ont écrit "la condition suffisante étant d[ue] au fait qu'un polynôme ayant une infinité de racines est nul" . Qu'est-ce que ça vient faire là ?

8.e. Je comprends l'expression de P(x) si a = b. En revanche, je ne comprends pas les déductions faites si a b. Comment déduisent-ils que = 0 ?

Voilà toutes mes questions. Quelqu'un pour m'aider, s'il lui plaît ?

Posté par
gui_toure : Questions sur corrigé Petites Mines 2008 22-02-09 à 21:10

Bonsoir Bladest,

4a. Oui, une famille libre de n éléménts dans un espace vectoriel de dimension finie n est une base de cet espace. Affirmer que la famille est libre et contient 2 veecteurs suffit à montrer que c'est une base.

5a. Si tu ne vois pas que c'est un sous-espace vectoriel, essaie de le démontrer !

Citation :
Parce que je ne comprends pas pourquoi c'est avec 4 matrices précisément...


Ba c'est l'énoncé ^^

5c. La définition d'une base c'est que c'est une famille libre et génératrice.
Si on montre qu'une famille à n éléments, libre dans E, dim(E)=n alors cette famille est une base.

Citation :
"famille génératrice de " = "famille constituée de n éléments de  de dimension n" ?


Pas tout-à-fait ; une famille génératrice de Gamma est telle que tout vecteur de Gamma peut s'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de cette famille. Concrètement, la famille {I2,M1} est génératrice de Gamma, mais {I2,M1,0,4M1²} en est aussi une

8d. Si 3$\varphi_n(P)=0 alors 3$\forall x>\alpha,\ (x-a)(x-b)P'(x)-n(x-(a+b)/2)P(x)=0

C'est la condition nécessaire ; mais est-ce que, si 3$\forall x>\alpha,\ (x-a)(x-b)P'(x)-n(x-(a+b)/2)P(x)=0 alors forcément P apparient à Ker(Phi), c'est-à-dire est-ce que Phi_n(P) est le polynôme nul ?

Oui car si 3$\forall x>\alpha,\ (x-a)(x-b)P'(x)-n(x-(a+b)/2)P(x)=0 alors pour tout x > alpha, (Phin(P))(x)=0 : le polynôme (Phin(P)) admet une infinité de racines distinctes, donc c'est le polynôme nul.

8e. Si a est différent de b , dans le membre de droite on n'a pas un polynôme à cause de la racine carrée. En revanche P doit être un polynôme. La seule possibilité est que les deux termes soient nuls.

En espérant t'avoir éclairé ..

L'énoncé est aussi disponible ici Concours Commun 2008 - Mines sup

Posté par
Bladestre : Questions sur corrigé Petites Mines 2008 22-02-09 à 22:58

Ah mais j'te reconnais ! T'as passé les Petites Mines en même temps que moi !
Ca s'est bien passé pour toi ? Perso, j'ai échoué, j'ai fait 3666ème avec 28,55 . Déçu notamment dans cette épreuve de maths où j'ai eu 5,8. J'pensais avoir bien réussi cette épreuve seulement, c'était tout le contraire... M'enfin bref, j'suis dans une nouvelle optique aujourd'hui.

Bon sinon, tout ce qui concerne les bases, j'ai compris.
Concernant le sous-espace vectoriel, je ne sais plus trop comment prouver ça et, momentanément, je n'ai pas mon cours de maths de sup avec moi là. Donc je me repencherai là-dessus une autre fois.
Pour la 8.d., j'ai dû relire une dizaine de fois ta réponse pour comprendre enfin les subtilités (qui n'en sont peut-être pas pour toi) ! En tout cas, ça me fait réaliser combien je peux manquer parfois de logique et de rigueur.
Et pour la 8.e., c'est bon aussi, j'ai compris.

Merci beaucoup pour ton aide !

Posté par
gui_toure : Questions sur corrigé Petites Mines 2008 22-02-09 à 23:08

Ah peut-être qu'on s'est déjà croisé oui, mais j'ai pas tilté ^^

Ba pour moi ça a été, enfin y a les maths pour me sauver, j'ai eu 39 au total et 12,65 sur cette épreuve.

Oki pour les bases alors.

Pour prouver qu'un ensemble F est un sous-espace vectoriel du IK-esp vect E, on montre :

¤ qu'il est pas vide (il contient le vecteur nul)

¤ il est stable par combinaison linéaire (et ici ça tombe bien) c'est-à-dire que pour tout (u,v) dans F, pour tout lambda dans IK, lambda.u+v est dans F

Pour la 8d je sais c'est pas facile à expliquer. L'idée phare c'est qu'on travaille sur l'espace vectoriel des polynômes, donc il s'agit de montrer que Phi_n(P) est le polynôme nul.

Voilà voilà, bon courage pour la suite

Posté par
Bladestre : Questions sur corrigé Petites Mines 2008 22-02-09 à 23:25

Lool, c'était pas en IRL, c'était juste sur le forum, là plus précisément : matrice et rang
T'es quand même bien loin de la barre d'admissibilité (29,5) ! Bien joué, en tout cas.

Ah cool, merci pour la définition du sous-espace vectoriel, le pire c'est qu'à chaque fois je me dis il faut que je la connaisse par coeur celle-là, mais elle n'est toujours pas restée dans ma tête.
Donc maintenant c'est bon, tu m'as totalement éclairé.
Merci et à bientôt.

Posté par
gui_toure : Questions sur corrigé Petites Mines 2008 22-02-09 à 23:30

Oui oui je pensais croiser sur le forum

Heureux d'avoir pu t'aider

Bonne nuit !


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