voici l'exercice :
A et B deux matrices réelles de taille n,
u l'endomorphisme de Mn(R) défini par :
u(M)=M+tr(M).B
u est-il diagonalisable? trigonalisable?
J'ai calculé les coefficients de u :
u(ij)(kl)=bijalk si je ne me trompe pas mais je ne sais pas quoi en faire...
et j'ai remarqué que u2(M)=u(M)+tr(AM).u(B) mais le u(B) est embêtant
Merci d'avance!
Bonjour,
en supposant que l'endomorphisme est bien
est diagonalisable, ssi on peut trouver une famille libre de matrices de telles que
.
Comme cette famille est libre, 1 matrice au plus parmi cette famille est multiple de .
Pour les autres, on doit donc avoir .
Or est une forme linéaire, et donc d'après le th. du rang.
Donc si , est diagonalisable, et si , u est diagonalisable ssi , soit .
Voilà j'espère ne pas avoir écrit trop de bêtises, auquel cas des matheux avisés me corrigeront
merci à tous,
effectivement j'avais fait une faute de frappe!
Et en utilisant la réponse de Raymond (pas bête...!) j'ai trouvé comme polynôme annulateur (X-1)(X-1-tr(AB)) ce qui (après quelques discussions) me menait au résultat que yoyodada donne.
Mais ton raisonnement est intéressant aussi, merci pour cet autre point de vue!
Bien vu.
On a aussi :
u²(M) = u(M) + tr(M)[B + tr(B).B]
Comme tr(B) = B + tr(B).B :
u²(M) = u(M) + u(M) - M + tr(B)[tr(M) - M]
Finalement :
u²(M) = [2 + tr(B)].u(M) - [1 + tr(B)].M
Donc, le polynôme :
P(X) = X² - [2 + tr(B)]X + [1 + tr(B)] annule u.
On a aussi :
P(X) = [X - (1+trB)][X - 1]
Comme P est scindé sur IR, u est forcément trigonalisable.
On observe que le sous-espace propre E(1), associé à la valeur propre 1 est défini par tr(M) = 0, c'est donc un hyperplan de Mn(IR).
Dim(E(1)) = n² - 1
Si 1 + tr(B) est différent de 1, u est diagonalisable
Par contre, il reste à étudier le cas où tr(B) = 0.
Bonjour,
Le plus rapide est de considérer l'endomorphisme v=u-id défini par v(M)=Tr(AM)B.
On a v²(M)=Tr(AM)v(B)=Tr(AB)v(M) donc le polynôme P=X(X-Tr(AB)) est annulateur de v.
Si Tr(AB) n'est pas nul, v est diagonalisable donc u=v+id aussi.
Si Tr(AB)=0, v est nilpotent; il n'est alors diagonalisable que s'il est nul, c'est-à-dire si A=0 ou B=0; sinon v est trigonalisable dans un base adaptée à Mn(R)=Ker()D, où (M)=Tr(AM).
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