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Niveau Maths sup
Relation entre arcsin et arctan ?
Posté par Pseudonyme
Salut à tous, on me demande de transformer un arcsin en arctan... En fouillant sur le net, je sais que arctan(x)=arcsin(x/racine de (1+x²))... Mais pas moyen de trouver une démonstration ! Si l'un d'entre vous aurait l'amabilité de me fournir une méthode, je suis preneur. Merci d'avance 
Bonsoir
prends un x réel quelconque
y=arctan(x) 
]-
/2;/2[
sin(y) = cos(y)*tan(y) = cos(y)*x
or 1+tan²(y) = 1/cos²(y) adjoint au fait que cos(y)>0 te donne cos(y) = 1/
(1+tan²(y))=1/(1+x²)
donc sin(y) = x/(1+x²)
et comme y ]-/2;/2[
on en déduit arctan(x)=y=arcin(x/(1+x²))
voilà voilà...
MM
Bonjour,
Reviens aux fondamentaux : Arctan(x), c'est l'arc dont la tangente est x. Si la tangente d'un angle est x, quel est son sinus ?
Un simple dessin d'un cercle trigonométrique et deux triangles semblables te convaincra que sin(x) = x/(1+x2)
De façon analytique, tu peux aussi écrire :
rctan(x) = y 
x = tan(y) = sin(y)/cos(y)
Et cos²(y)+sin²(y) = 1 cos(y) = (1-sin²(y))
d'où x = sin(y)/(1-sin²(y))
Et en élevant au carré :
x²(1-sin²(y)) = sin²(y)
sin²(y) = x²/(1+x²)
sin(y) = x/(1+x²)
y = arcsin(x/(1+x²))
j'adore ces gens qui viennent poster un problème et qui se barrent ! ils attendent la solution... c'est bien !
totalement inutile...
mais bon !
MM
Ils se barrent ou ils ne prennent pas la peine de poster un petit merci.
Des fois c'est décourageant, heureusement qu'il nous reste le plaisir d'avoir fait le boulot...
Bonjour les amis!
Puisqu'on en est aux gracieusetés, voici une autre suggestion: si on pose on a f(0)=0 et, avec un peu de courage f'(x)=0 pour tout x...
Oui, ça marche forcément, encore que ça ait un peu l'air de sortir du chapeau d'une magicienne.
Ou, si on veut le dire autrement, c'est plus de l'ordre de la vérification que de la démonstration.
Ceci dit, je retiens l'approche, et je la classe précieusement dans ma boîte à outils personnelle...
Merci Camélia !
La dérivation est efficace surtout dans les exos piégeants dans lesquels on empile des sin, des cos, des arcsin des arccos et qui finissent par donner 
x/(quelquechose)... On voit facilement où c'est 1 et où c'est -1 et il suffit d'une valeur pour avoir la constante!