Niveau Maths sup

Simplification d'un arcsinus

Posté par
Mc Deluxe 30-09-09 à 17:53

Bonjour, je cherche à simplifier Arcsin(cos(x)
Arcsin(cosx)=y $\Longleftrightarrow$ Arcsin(cosx)=Arcsin(siny) y est compris en $-\frac{\pi}{2}$ et $\pi/2$
$\Longleftrightarrow cos(x)=sinx \\ \Longleftrightarrow cos(x)=cos(\frac{\pi}{2}-y)$
Donc
$y= \frac{\pi}{2}-2k\pi$
$y= \frac{\pi}{2}+2k\pi$
Par contre après il faudrait discuter selon les les valeurs que prend y, pouvez-vous m'aider comme il faut faire?
Merci pour votre aide

Posté par re : Simplification d'un arcsinus 30-09-09 à 17:55

OUPS les solutions sont
$4$y= \frac{\pi}{2}-x+2k\pi \\ y= \frac{\pi}{2}+x+2k\pi$

Posté par re : Simplification d'un arcsinus 30-09-09 à 18:23

La fonction f : f(x)=Arcsin(cos(y)) est évidemment 2 périodique et paire. Tu peux donc te contenter de l'étudier de 0 à .

Lorsque x croît de 0 à , cos(x) décroît de 1 à -1 et arcsin(cos(x)) décroît donc de Arcsin(1)=/2 à Arcsin(-1)=-/2

Posté par re : Simplification d'un arcsinus 30-09-09 à 18:39

Mais dans ce cas quelle est la bonne solution et pourquoi?
Pour moi, la bonne solution de 0 à \pi/2 c'est la deuxième car le cosinus est positif
Et de \pi/2à -1 c'est la première.
Je me réfère au post de 17h55, pour les termes "première, deuxième"

Posté par re : Simplification d'un arcsinus 30-09-09 à 23:55

Ta première ligne propose une infinité de solutions
Ta deuxième ligne propose une infinité de solutions

Or il n'y a qu'une solution ! C'est $y=\frac{\pi}{2}-x$ quand $x \in ]0;\pi[$

Posté par re : Simplification d'un arcsinus 01-10-09 à 09:40

Tu étudies d'abord sur $[0;\pi]$ .

Si $x\,\in [0;\pi]$ , $\frac{\pi}{2}-x+2k\pi\,\in\,[-\frac{\pi}{2}+2k\pi;\frac{\pi}{2}+2k\pi]$ et comme $y\,\in\,[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ , seul k=0 convient !
Et $\frac{\pi}{2}+x+2k\pi\,\in\,[\frac{\pi}{2}+2k\pi;\frac{3\pi}{2}+2k\pi]$ donc aucune valeur de k ne convient !

Entre 0 et $\pi$ $f(x)=\frac{\pi}{2}-x$ . Ensuite tu complètes par symétrie, et en tenant compte de la périodicité !