Bonjour

ce problème étudie les équations qui admettent des solutions inverses l'une de l'autre  (on travaille avec les nombres réels)

Question 1 :
A quelle condition une équation du second degré admet-elle des solutions inverses l'une de l'autre ?
Ma réponse :  on écrit l'équation ; sous réserve que le discriminant soit strict positif , ou nul (dans ce cas, la solution double est nécessairement , ce nombre étant son propre inverse), il faut de surcroît que

Question 2 :
Montrer que cette propriété est vérifiée par les équations de degré de la forme si le premier membre ordonné vérifie l'une des deux conditions suivantes :

2a/ les coefficients des termes extrêmes sont égaux

2b/ les coefficients des termes équidistants des termes extrêmes sont opposés, et il n'y a pas de monôme équidistant des termes extrêmes

Mes premiers éléments de recherche :
c'est le cas où le premier membre de l'équation comprend un nombre pair de monômes ordonnés.

Pour , j'ai posé :

pour le cas 2a/

, ce qui se transforme en :



est solution évidente ; je m'intéresse aux solutions du deuxième facteur :
sous réserve que \Delta = (b - 3a).(b + a) soit positif ou nul (ce que je ne sais pas établir), les deux solutions sont , dont le produit vaut 1, les deux solutions sont donc inverses l'une de l'autre.

pour le cas 2b/

, ce qui se transforme en :



est solution évidente ; je m'intéresse aux solutions du deuxième facteur :
sous réserve que \Delta = (b - a).(b + 3a) soit positif ou nul (ce que je ne sais pas établir), les deux solutions sont , dont le produit vaut 1, les deux solutions sont donc inverses l'une de l'autre.

Mais comment le vérifier dans le cas général (quel que soit la valeur de , et notamment lorsque est pair et qu'un monôme ( ou plusieurs en nombre impair) manquent (coefficient 0) ?

Merci par avance pour votre aide