Bonsoir à tous et à toutes , voici mon problème :
Dans , on considère les sous-espaces E et F respectivement engendré par [ (1,2,3,4) , (2,2,2,6) , (0,2,4,4) ] et [(1,0,-1,2) , (2,3,0,1) ] .
Déterminer base et dimension de E+F .
Good luck !
Bonjour med112
Notons e1,e2,e3,e4,e5 les 5 vecteurs écrits.
Tu peux commencer par dire que E est aussi engendré par e1,e2/2 et e3/2, que je rebaptise e'1,e'2,e'3.
Comme e'3 = e'1 - e'2, la famille est liée donc E est de dimension inférieure ou égale à 2.
Or e'1 et e'3 par exemple sont linéairement indépendants, donc dim(E) = 2.
Il n'y a plus qu'à s'assurer que la famille {e4,e5} est une base de F (trivial), et que {e'1,e'3,e4,e5} est libre :
c'est donc une base de E + F, qui est ainsi de dimension 4.
Merci Tigweg !! Je vais essayer de m'entrainer avec ta méthode dans d'autres cas . A bientôt j'espère !
Avec plaisir med! Vérifie mon résultat quand même, on n'est jamais à l'abri d'une erreur de calcul!
A bientôt sans doute!
Salut tout le monde . Encore merci pour ton aide Tigweg , le seul petit problème est ta première relation avec e'3 . Mais j'essaie de trouver une autre relation entre e1 , e2 et e3 . Tu crois qu'il y a un autre moyen que celui-ci ?
Salut med, je t'en prie!
Mais qu'est-ce qui te dérange dans ma première relation?
e'3 = (0,1,2,2) ok?
e'1 = (1,2,3,4)
e'2 = (1,1,1,3) ok?
Donc e'3 est bien égal à e'1 - e'2!
Ah non!! Je suis désolé, je viens de me rendre compte (en postant!!) qu'il y avait un problème!
Je regarde à nouveau ça!
OK, j'ai dit une bêtise, e1, e2, e3 sont linéairement indépendants!
E = Vect(e'1, e'2, e'3) et (e'1,e'2,e'3) en est une base.
F = Vect(e4,e5) et (e4,e5) en est une base.
On s'aperçoit que e4 appartient à E car, dans la base de départ, det(e'1,e'2,e'3,e4) = 0
En revanche, e5 n'est pas dans E car le déterminant correspondant est non nul.
Conclusion: la famille (e'1,e'2,e'3,e5) est une famille libre de E+F (déterminant non nul comme je viens de le dire) et génératrice (car e4 est dans l'espace engendré par les 3 premiers vecteurs, et car e'1,e'2,e'3,e4,e5) engendre E+F comme réunion de familles engendrant respectivement E et F) : c'en est donc une base!
Tout simplement merveilleux Tigweg !! Tu as réussi à corriger ton erreur , j'espère que j'aurai un niveau qui s'approche du tien .
PS:Si jamais tu trouves un raisonnement sans le déterminant , j'aimerai beaucoup avoir quelques pistes (ne te fatigues pas à tout me donner) - je sais que je suis chiant mais je voudrai réussir une "version" en accord avec mon cours actuel qui n'a pas établit généralement le déterminant .
Lol je t'en prie!
Pourquoi, vous n'avez pas vu le déterminant?
Bon sinon, tu peux chercher des coefficients a,b,c tels que e4 = ae'1 + be'2 + ce'3.
De même, tu peux montrer qu'il est impossible de trouver de tels coefficients pour e5!
Mais bon c'est beaucoup plus long!
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