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somme de termes et leurs puissances et inverses

Posté par
pppa 18-12-23 à 17:04

Bonjour

Je veux démontrer que si 4 nombres non nuls a, b, c, d sont tels que :
a+b+c+d = 1   \\ a²+b²+c²+d² = 1 \\ a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3} = 1

alors \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} = 0

Je vois que de la première égalité, il vient que :
(a+b+c+d)^{2} = 1  et (a+b+c+d)^{3} = 1, soit :
ab+ac+ad+bc+bd+cd = 0 et
3(a²b+a²c+a²d+b²c+b²d+c²d+ab²+ac²+ad²+bc²+bd²+cd²) + 6(abc+acd+bcd) = 0

mais je ne parviens pas à démontrer ce qui est demandé.

Merci par avance pour votre aide

Posté par
larrechre : somme de termes et leurs puissances et inverses 18-12-23 à 17:43

Bonjour,

Il manque le terme adb dans la dernière parenthèse

Par ailleurs, a^2b+a^2c+a^2d= a^2(1-a), etc.

Posté par
pppare : somme de termes et leurs puissances et inverses 18-12-23 à 18:34

Merci Larrech, je pense que j'ai trouvé grâce à ton amorce d'aide :

Je retrouve a^{2}(a-1) en soustrayant la deuxième égalité de la troisième, idem pour les trois autres nombres, et
a^{2}(a-1)+b^{2}(b-1)+c^{2}(c-1)+d^{2}(d-1) = 0
soit a²b+a²c+a²d+b²a+b²c+b²d+c²a+c²b+c²d+d²a+d²b+d²c = 0
donc 3(a²b+a²c+a²d+b²a+b²c+b²d+c²a+c²b+c²d+d²a+d²b+d²c) = 0
et à partir de de ce que j'avais trouvé dans le premier post :6(abc +acd+bcd+abd) = 0, soit (abc +acd+bcd+abd)= 0

Enfin, je peux écrire \frac{1}{a}=\frac{bcd}{abcd}, avec raisonnement identique pour b, c et d, j'additionne quatre fractions de même dénominateur, dont la somme des numérateurs est nulle, cqfd !?

Posté par
larrechre : somme de termes et leurs puissances et inverses 18-12-23 à 18:51

Voilà, c'est bien ça.


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