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somme de var indpendantes

Posté par
un_plus_un_ 28-10-08 à 22:03

Bonsoir,

est-ce que la somme de deux var indépendantes et de même loi exponentielle est une var de loi exponentielle? J'ai utilisé le produit de convolution et je n'ai pas trouvé ça, est-ce normal?

Merci

Posté par
un_plus_un_re : somme de var indpendantes 28-10-08 à 22:23

f_X(t)

Posté par
robby3re : somme de var indpendantes 28-10-08 à 22:28

Bonsoir,

Soit 5$ \blue \fbox{ f(x)=\lambda exp{\lambda.x} \mathbb{1}_{\mathbb{R}+}(x)}

D'aprés le cours \large X+Y admet \large f*f comme densité.

j'ai:

5$ \rm \fbox{\red{(f*f)(y)}}=\mathbb{1}_{\mathbb{R}+}(y)\Bigint_0^y \lambda exp{\lambda.x}\lambda exp{\lambda.(y-x)} dx=\fbox{\red{\mathbb{1}_{\mathbb{R}+}(y)\lambda^2.y.exp{-\lambda y}}}

de maniere plus générale,la loi de la somme de n var indépendnates suivant la loi exponentielle de parametre \large \lambda ademet \large f^{(*n)} comme densité, on le vérifie par récurrence...

5$ \rm P(n)=f^{(*n)}=\frac{\mathbb{1_R}_+.\lambda^n.y^{n-1.exp{-\lambda y}}}{(n-1)!} pour n\ge 1

c'est vrai pour n=1,on la suppose vrai pour n...

on a:
5$ \rm f^{(*(n+1))}(y) \\ \\ =\(f^{(*n)}*f\)(y) \\ \\ =\mathbb{1_R}_+(y) \Bigint_0^y \frac{\lambda^n}{(n-1)!} x^{n-1}exp{-\lambda.x}.\lambda.exp{-\lambda(y-x)} dx \\ \\ =\mathbb{1_R}_+(y)\frac{\lambda^{n+1}}{(n-1)!}.exp{-\lambda .y} \Bigint_0^y x^{n-1} dx \\ \\ =\mathbb{1_R}_+(y)\frac{\lambda^{n+1}}{n!}y^n.exp{-\lambda.y}

>>il semblerait donc que la somme de de deux var indépendnates suivant la meme loi exponetielle de parametre \lambda ne soit pas une var de loi exponentielle
(sauf erreur)

Posté par
un_plus_un_re : somme de var indpendantes 29-10-08 à 01:28

exact mais je pense que le résultat est celui là sans l'indicatrice de y

En fait la somme de deux var de même loi exponentielle suit une loi Gamma de paramètres \lambda et 2

Et la somme de n var de même loi exponentielle on montre que ça suit une loi Gamma de paramètres
\lambda et n+1


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