Niveau Reprise d'études

Sous-espace stable et diagonalisabilité

Posté par
Milka3 01-01-22 à 17:57

Bonjour,
je dois répondre à la question suivante :

Citation :
Sur $K=\mathbb{C}$ .
Un endomorphisme tel que pour tout sous-espace stable il existe un supplémentaire stable est un endormorphisme diagonalisable.

Par récurrence.
Mon problème est la formulation de la récurrence. Est-ce que ceci convient :

$\mathcal{P}(k) : \forall k\in\{1,\cdots,n\}\,,\,\exists e_1\,,\cdots\,, e_k\,$ vecteurs propres tels que $E=F_k\oplus H_k$
où $F_k=vect\{e_1,\cdots,e_k\}$ et $f(H_k)\subset H_k$ .

Est-ce convenable ?
D'avance merci pour votre aide !

Posté par Sous-espace stable et diagonalisabilité 01-01-22 à 20:05

bonjour,
L'expression de P(k) est une chose, mais sur quelle propriété fondamentale vas-tu t'appuyer avec K=C ?
Comment alors justifies-tu que P(1) est vrai ?
Comment poursuis-tu alors la démonstration ?

Posté par re : Sous-espace stable et diagonalisabilité 01-01-22 à 20:30

salut

je ne comprends pas ta formulation de la proposition à démontrer par récurrence ...
d'ailleurs je ne vois aucune proposition dépendant d'un entier n ...

la récurrence se construit sur la dimension n de l'espace vectoriel E

soit P(n) la propriété :

pour tout espace E de dimension k n alors :

si tout sous-espace de E stable par f admet un supplémentaire stable par f alors f est diagonalisable.

soit alors E un espace de dimension n + 1 et F un sous-espace de E stable par f ...

PS : après E, F et avant H il y a G ...

Posté par re : Sous-espace stable et diagonalisabilité 02-01-22 à 08:58

Bonjour à tous les deux. Oui, on est sur le corps C. Tout endomorphisme y admet au moins une valeur propre, ce qui permet l'initialisation.

Ok carpediem.
Je cherche à prouver $\mathcal{P}(n-1)\Rightarrow \mathcal{P}(n)$ .

Je considère un espace E tq. $dim(E)=k\le n$ et $f\in\mathcal{L}(E)$ .

Si $dim(E)\le n-1$ , alors $\mathcal{P}(n-1)$ livre le résultat.

Je suppose maintenant $dim(E)=n$ .

$f$ admet au moins un vecteur propre $x\neq 0$ .

J'introduis $D=vect(x)$ vérifiant $f(D)\subset D$ . Par hypothèse de travail, il existe un supplémentaire $H$ stable par $f$ : $E=D\oplus H$ .

On a alors $dim(H)=n-1$ et on applique l'hypothèse de récurrence avec $H$ et l'endomorphisme induit $f_H$ .

On considère $G \subset H$ stable par $f_H$ admettant un supplémentaire $K$ stable $f_H$ . Alors $f_H$ est diagonalisable.

Et là, je bloque. Je n'arrive pas à remonter à f.

Pouvez-vous m'aider ?

Posté par re : Sous-espace stable et diagonalisabilité 03-01-22 à 17:18

Bonjour,

Un exercice qui paraît a priori plus dur :

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie tel que pour toute droite stable il existe un hyperplan supplémentaire stable. Alors $f$ est diagonalisable.

Mais peut-être arriveras-tu plus facilement avec cet énoncé ?