Bonjour, Pouvez vous m'aidez sur cet exercice?
Soit A=X4-1 et B=X4-X
Pour tout P3[X], on pose f(P)=le reste de la dvision euclidienne de AP par B
j'ai montrer que f était un endomorphisme
je dois maintenant montrer que Ker(f)=Vect(X+X2+X3)
le reste est de degré inférieur à celui de B donc deg(R(x))3
Soit L(X)=Ker f
alors le reste de la division de AxL par B est égale à 0
donc AxP=BQ P(X4 -1)=Q(X4-X)
mais je n'arrive pas à trouver une combinaison de X+X2+X3
P(X^3+X^2+X+1)=Q(X^3+X^2+X)
P=(Q-P)(X^3+X^2+X)
Reste plus qu'à montrer que Q-P est un scalaire. La solution la plus simple étant de poser P=aX^3+bX^2+cX+d et Q=eX^3+fX^2+gX+h et en identifiant, montrer que les coefficients non constants sont les mêmes. Doit y avoir plus astucieux mais j'ai la flemme.
Donc P appartient au vect.
s'écrit aussi en simplifiant par ,
et comme et premier avec car sans racine commune dans
on voit (Gauss) que
et comme on conclut sauf erreur bien entendu
si tu montre queque dim(ker(f)) = 1 (ca peut se faire en montrant que dim(Im(f)) = 3, il te suffira de prouver que f(X3+X2+X) = 0
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