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Sous groupe cycliques
S'il vous plait je veux savoir si deux sous groupes cycliques d'un groupe cyclique sont de même ordre Donc ils sont égaux?
et je veux que vous m'aider à etablir le diagramme de treillis des sous groupe de Z/nZ avec une methode simple et courte.
Et merci.
Salut,
effectivement si G est un groupe cyclique d'ordre n, pour tout d divisant n il existe un unique sous-groupe cyclique d'ordre d engendré par x^(n/d) si x engendre G.
La démonstration peut se faire comme ceci, on considere H un sous-groupe d'ordre d de G.
Par Lagrange, pour tout y dans H on a y^d=1 or y s'écrit y=x^k comme x engendre G.
On a donc x^kd=1 donc n/kd d'où n/d divise k ainsi y est dans <x^n/d>. D'ou H est inclus dans <x^n/d>.
On conclut par égalité des cardinaux.
... même que la réciproque est vraie...
"Si pour tout d|n, il existe un et un seul sous-groupe de G cyclique d'ordre d alors G est cyclique"?
Oui, bien sur... Pour une jolie démonstration: 
théorie des groupe(cycliques)
Ben disons que le post de Camélia est un peu trop restrictif.
On a en fait si G est de cardinal n alors
G est cyclique ssi pour tout d divisant n il existe AU PLUS un seul sous-groupe de G de cardinal d .
(ce sous-groupe étant à priori arbitraire et à posteriori évidemment cyclique)
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