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Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 14:39

Pour poursuivre sur la même méthode :
\Large \alpha u_1 + \beta u_2 = 0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix}\alpha x + \beta a\\\alpha y \\z(\alpha-\beta)\end{pmatrix}=0

Si \Large z=0 :
si \Large \alpha = 0 le rang c'est 1
si \Large y=0 le rang est toujours 1

Si \Large \alpha = \beta :
si \Large \alpha = 0 alors \Large \beta aussi le rang c'est 2
si \Large y = 0 alors le rang c'est 1.

Voici ce que je trouve !

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 14:42

Oui, ce sont plusieurs manières de calculer le rang. Moi j'ai regardé à 14:18 le nombre maximal de COLONNES indépendantes! (C'est licite, rg M=rg {}^tM)). mais depuis le début j'utilise un théorème qui est très utile dans le cas des sous-variétés:

Citation :
Une matrice m\times n est de rang r si et seulement si on peut extraire un déterminant r\times r non nul et tous les déterminants (r+1)\times(r+1) sont nuls.


Dans le cas ici, le rang est au plus 2, donc dès qu'il y a un det 2\times 2 non nul, c'est de rang 2, si les 3 det sont nuls, le rang est 0 ou 1, et il y a toujours un terme non nul!

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 14:49

Donc par exemple pour \begin{pmatrix}1&1&8\\4&2&3\end{pmatrix} est une matrice 2x3 donc de rang au plus 2.

Est-ce de rang 2 ? Je regarde les déterminants 2x2 :

i) 1*2-4*1=-2
ii) 1*3-2*8=-13
iii) 1*3-4*8=-29

Maintenant, il faut regarder les déterminant 3x3, il faut rajouter des zéros ?

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 14:51

La matrice est 2x3, si je regarde un déterminant 2x2, comment je fais pour le déterminant 3x3 ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 14:54

C'est même trop! Elle est de rang au plus 2, et d's que tu as UN déterminant non nul, c'est forcément 2!

En revanche si je prends

\(1\ 2\ 3\\ 2\ 4\ 6\)

les trois déterminants sont nuls, donc elle n'est pas de rang 2, et comme elle est non nulle, elle est de rang 1.

A retenir: s'il existe un determinant p\times p non nul, le rang est supérieur à p.

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 14:56

Ah okk, donc pour \begin{pmatrix}1&1&8\\4&2&3\end{pmatrix}, comme le "premier déterminant" (ie 1*2-4*1=-2) est non nul, son rang est supérieur à 2. Mais comme c'est au plus 2, c'est forcément 2 !

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 15:01

Avant de revenir à l'exercice, si j'ai \begin{pmatrix}10&0&0\\3&0&0\end{pmatrix}, c'est une matrice 2x3 donc de rang au plus 2. C'est pas 0 car c'est pas la matrice nulle. Est-elle de rang 1 ? On a le déterminant d'ordre 1 (avec uniquement le 10 par exemple) qui est non nulle, et tous les autres déterminants d'ordre 2 sont nul.

Donc son rang c'est 1 !
Ai-je bien compris ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 15:04

OUI! Tu y es!

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 15:16

Okay!

Dans l'exercice on a trouvé la matrice jacobienne suivante \Large \begin{pmatrix}2x&2y&2z\\2(x-a)&2y&0\end{pmatrix} qui est de rang au plus 2. Comme a est non nul, cette matrice n'est pas de rang 0. Son rang est soit 1, soit 2.

Le rang est 1 ssi il existe un sous-déterminant d'ordre 1 non nul et tous les autres d'ordre 2 sont nuls. On calcule les trois déterminants d'ordre 2 et on trouve soit \Large 4ay , soit \Large -4yz , soit \Large 4(x-a)z.

Le premier est nul ssi \Large y=0, le second ssi \Large y=0 ou \Large z=0 et le troisième ssi \Large x=a ou \Large z=0. Pour que les trois soient nuls, il faut donc que \Large y=0 et \Large z=0.

Dans ce cas, la matrice est de rang 1 (ie pour tout point de la forme \Large (x,0,0)). Ces points sont sur \Large S_a ssi \Large (x=1\,;\,a=\frac{1}{2})\,ou\,(x=-1\,;\,a=-\frac{1}{2}) et comme \Large a>0 il reste que le cas \Large (x=1\,;\,a=\frac{1}{2}).

On serait donc tenté de dire que \Large S_{\frac{1}{2}} n'est pas une sous-variété, mais le théorème ne s'applique pas ici, car la matrice est de rang 1 !

Par contre, si \Large a\neq\frac{1}{2}, la matrice serait alors de rang 2 et le théorème s'applique : \Large S_a est une sous-variété.

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 15:21

SUPER! Tu essayes de voir pourquoi ce n'est pas une sous-variété dans le cas a=1/2, ou je te raconte?

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 15:23

Je suis en train de relire ton poste d'hier à 16:20 et j'avoue que ça me dépasse un peu ! Je ne vois pas bien les choses alors je suis pas contre un petit coup de pouce

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 15:48

OK! Dans ce cas, les équations sont x^2+y^2+z^2=1 et x^2-x+y^2=0 et le point à problème est le point (1,0,0). (Ton théorème permet d'affirmer que S privé de (1,0,0) est bien une sous-variété) Les points de S vérifient donc y^2=x-x^2 et z^2=1-x. En posant pour h > 0, x=1-h, on voit qu'au voisinage de (1,0,0) les points de S sont de la forme
(1-h, \pm\sqrt{h(h-3)}, \pm\sqrt{h}). Or ceci montre que pour h petit, si on enlève le point (1,0,0), il reste 4 composantes connexes, donc au voisinage de (1,0,0) ce n'est pas homéomorphe à un intervalle. (Un intervalle privé d'un point a deux composantes connexes).

En français: le point (1,0,0) est un point double!

C'est un cas où l'on voit la force du théorème: il a détecté le seul cas, où il y avait un problème et le point en question!

Si une bonne ame pouvait faire des dessins avec a < 1/2, a=1/2 et a > 1/2, je lui serais fort reconnaissante!

Posté par
gui_toure : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 16:50

Hello,

Il faut tracer la surface paramétrée par x²+y²+z²=1 et x²-x+y²=0 ?

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 17:50

Désolé, j'ai du m'absenter !

Je ne vois pas pourquoi le théorème permet d'affirmer que S privé de (1,0,0) est bien une sous-variété !

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 08-05-09 à 17:52

Guitou, je pense qu'il faille tracer :

x^2+y^2+z^2=1
et (x-\frac{1}{10})^2+y^2=(\frac{1}{10})^2
et (x-\frac{1}{2})^2+y^2=(\frac{1}{2})^2
et (x-2)^2+y^2=2^2

par exemple !
Peux-tu le faire ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 09-05-09 à 14:11

>H_aldnoer
Pour a=1/2, sur l'ouvert \Omega=R^3\setminus\{(1,0,0)\} la jacobienne de f est de rang 2, donc S_{1/2}\cap\Omega est une sous-variété!

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 09-05-09 à 21:51

Ok!
Par contre après, connexité et homéomorphisme, je n'y suis plus du tout. J'ai essayé de voir sur une figure, mais je ne m'en sors pas non plus

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 10-05-09 à 00:09

Une autre question aussi, l'espace tangent au point \Large a=(a_1,a_2,a_3) de la surface S est toujours le noyau de \Large Jac(f,(a_1,a_2,a_3)) ?

Et je ne vois pas comment passer de \Large -2a_1h_1+2a_2h_2+h_3=0 à \Large -2a_1(x_1-a_1)+2a_2(x_2-a_2)+(x_3-a_3)=0 !

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 10-05-09 à 14:40

Il ne faut pas confondre l'espace vectoriel tangent avec l'espace affine tangent! Le premier est bien le noyau de la différentielle au point envisagé, le second est l'espace affine parallèle au premier qui passe par le point en question. Il s'obtient tout bêtement en remplaçant les h_i par x_i-a_i.

Si on regarde le cas le plus simple, dans R^2 la courbe y=f(x) en un point (a,f(a)). La droite vectorielle tangente au point a est k=f'(a)h et la droite affine est y-f(a)=f'(a)(x-a) la formule que tout le monde connait en première!

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 10-05-09 à 22:26

Mais ici, je dois donner l'équation du plan tangent en 0 à \Large S ce que mon prof note \Large T_0(S) : c'est donc un espace vectoriel tangent, n'est-ce pas ?

A-t-on toujours, si \Large S := \{x\in\mathbb{R}^n , f_1(x)=...=f_p(x)=0 \} et \Large f=(f_1,...,f_p) que \Large T_a(S) = Ker ( Jac( f , a) ) ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 11-05-09 à 14:35

Oui, c'est probablement l'espace tangent vectoriel. Et encore oui, pour la formule, si on est sur que c'était bien une submersion au point a.

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 11-05-09 à 14:39

Parfait !
Par contre, je suis toujours perdu sur la citation suivante :

Citation :
Or ceci montre que pour h petit, si on enlève le point (1,0,0), il reste 4 composantes connexes, donc au voisinage de (1,0,0) ce n'est pas homéomorphe à un intervalle. (Un intervalle privé d'un point a deux composantes connexes).

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 11-05-09 à 14:45

Bon, simplifions. Je regarde une courbe qui ressemble à un 8 ou à . Si j'enlève le point double, tout visinage contient 4 morceaux. Si j'enlève un point d'un intervalle ouvert, il reste 2 morceaux. Or si tu lis bien la définition d'une sous-variété C de dimension 1, il y est dit que chaque point admet un voisinage V dont l'intersection avec C est homéomorphe à un intervalle.

Dans notre cas, pour a=1/2, on a deux ronds qui se touchent au point (1,0,0) c'est une espèce de 8 dans l'espace.

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 11-05-09 à 15:07

Toujours pas
Dans mon cours, on a dit que \Large S est une sous-variété de classe \Large C^k de dimension m si \Large S est lisse en chacun de ses points, de même classe \Large C^k et de même dimension m.

Ensuite on a une définition du terme lisse, avec les permutations de coordonnées (je n'y comprend strictement rien !) et qui fait de S le localement au voisinage d'un point le graphe d'une application de classe \Large C^k

Est-ce à dire que \Large S n'est pas lisse en (1,0,0) ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 11-05-09 à 15:09

Lisse ou pas, ça a voir avec df de rang maximal. En revanche, le coup du graphe, c'est bien ça! En aucun cas une croix ne peut être le graphe d'une fonction définie sur R.

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 11-05-09 à 15:11

Donc localement au voisinage de \Large (1,0,0), S ne peut-être le graphe d'une application de classe \Large C^k ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 11-05-09 à 15:15

C^k ou pas elle ne peut être le graphe d'AUCUNE fonction!

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 11-05-09 à 15:21

Et pour montrer précisément ça, on est obligé de passer par la connexité ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 11-05-09 à 15:25

Si on veut bien faire les choses, oui... mais une explication du genre c'est un point double, donc pas un graphe, peut passer.

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 11-05-09 à 15:48

Je suis en train de batailler pour avoir un graphique qui me ferais voir la situation que tu as décrite ici :

Citation :

Là je vais m'en aller. Alors je te suggère d'interpréter la chose. C'est l'intersection de la sphère unité avec un cylindre d'axe vertical sur le cercle du plan xOy de centre (a,0) et de rayon a. Si a < 1/2, le cylindre découpe 2 "ronds" sur la sphère. Si a > 1/2, il n'y en a qu'un. Pour a=1/2, ça ressemble à un 8 dessiné sur la sphère. C'est dans ce cas qu'il faut prouver que quelque chose cloche dans les définitions de sous-variété! Avec un bon logiciel de dessin, on arrive même à voir ce qui se passe quand a croit!


Mais impossible, je ne maitrise pas le logiciel ...
Alors j'avais trouvé ça sur google, c'est bien notre situation ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 11-05-09 à 15:52

Non, ce n'est pas ça! J'ai changé d'ordinateur et je n'ai plus Mapple, mais je vais voir si je ne trouve pas sur un vieux...

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 11-05-09 à 15:56

Merci !

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 12-05-09 à 16:22

Merci Camélia, car j'ai eu exactement cet exercice à l'examen, avec le cas précis a=1/2. A la fin, le prof a rajouter une paramétrisation de la surface \Large S_{\frac{1}{2}} avec \Large \gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))=(\frac{cos(t)+1}{2},\frac{sin(t)}{2},sin(\frac{t}{2})).

Pour montrer que c'était bien une paramétrisation, j'ai simplement vérifier que \Large \gamma_1^2+\gamma_2^2+^\gamma_3^2=1 et \Large \gamma_1^2-\gamma_1+\gamma_2^2=0. Je ne sais pas si cela est correct !

On me demandé de faire un dessin, donc j'ai tracer la sphère unité, puis j'ai fais un cylindre de centre \Large (1/2,0,0). Par contre, je ne sais pas si je l'ai fait correctement.

Après on me demandé pourquoi c'était pas une sous-variété en calculant \Large \gamma_(0) et \Large \gamma(2\pi). Alors j'ai dit que ça ne pouvait être le graphe d'une application locale au voisinage de ces deux points, car \Large\gamma(0)=\gamma(2\pi).

Bref, j'ai pu faire pas mal de question quand même !
Merci !

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 12-05-09 à 16:28

Eh bien... rien ne remplace l'expérience... (ton prof doit être un de mes anciens élèves)! C'est bon pour la paramétrisation, et en effet, on voit apparaitre le point double! Ravie d'avoir été utile!

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 12-05-09 à 16:31

Ou pas ! Il est vieux quand même !

En tout cas je te remercie encore, car la deuxième partie sur les formes différentielles j'ai presque rien touché ! Pour le dessin, ca m'a donné ceci :

Sous-variété et plan tangent

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 12-05-09 à 16:42

C'est bien quelque chose comme ça le dessin! Vieux, vieux, moi aussi je suis vieille!

Posté par
H_aldnoerre : Sous-variété et plan tangent 12-05-09 à 16:44

Posté par
Camélia Correcteurre : Sous-variété et plan tangent 25-05-09 à 15:13

Bonjour

Je viens de tomber dessus!

C'est une courbe de Viviani, voir ici:

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