Bonjour

Bon début! Il vaudrait mieux dire que df est de rang un sur toute la surface. S est une sous-variété de de dimension 3-1=2 (une surface, quoi!)

L'espace tangent en un point a de S est le noyau de . Si on a , donc l'équation d'où sous-espace vectoriel tangent est et celle du sous-espace affine tangent (celle qu'on donne d'habitude est

Bonsoir !

Alors, pour reprendre les notations de mon cours, je vais citer une proposition :

Soit une application de dans de classe définie au voisinage d'un point telle que . Si les différentielles en a des sont linéairement indépendantes en tout point d'un ouvert alors est une sous-variété de de codimension p.

Ici on a bien cela, l'application f en jeu est . Maintenant, est-ce que les différentielles des sont linéairement indépendantes en tout point de l'ouvert ?

Alors on a , et pour un certain .

Puis et ici je n'arrive pas à m'en dépatouiller pour retrouver

Salut H_aldnoer

Ici, p vaut 1 donc il n'y a qu'une différentielle, celle-ci étant une forme linéaire. Ainsi, cette différentielle forme une famille libre si et seulement si elle est non nulle.
Ici, comme la dérivée de f par rapport à la 3ème variable est non nulle, eh ben ça marche.

Kaiser

Merci kaiser, désolé pour le dérangement

Ce que je ne vois pas c'est ça : "cette différentielle forme une famille libre si et seulement si elle est non nulle"

Aucun problème !

Mais c'est un vecteur qui a plusieurs composantes non ? Je ne suis plus du tout :/

Quelque que soit le nombre de ses composantes, c'est un seul et unique vecteur.
En fait, je dois t'avouer que je ne vois pas où se situe le problème.

Kaiser

Ah non, j'ai confondu.
En fait, il faut dans le cas général regarder la matrice dont les colonnes sont les :


Dans ce cas général, il faudra voir si .

Est-ce bien cela ?

c'est bien ça.

Kaiser

Cette matrice en question n'est ni plus ni moins que la transposée de la matrice jacobienne de si je ne me trompe pas. Travailler directement avec cette dernière matrice, revient-il au même ?

oui, c'est bien la transposée de la jacobienne et oui, ça revient au même de travailler avec cette matrice : montrer que p différentielles sont linéairement indépendantes revient à montrer que cette matrice est de rang p

Kaiser

Dans notre cas, la matrice jacobienne de f c'est . Il faut montrer que cette matrice est de rang la dimension de l'espace d'arrivée, ici 1 ?

oui

La matrice n'est pas carré, comment en calculer son rang ?

Qu'elle soit ou pas carrée n'a pas d'importance. En général, on peut toujours faire des opérations élémentaires pour déterminer le rang. On sait également que le rang d'une matrice de taille (n,p) est inférieur au minimum de n et p.

Dans le cas présent, le rang est inférieur ou égal à 1. Le rang n'est pas égal à 0(car la matrice n'est pas nulle) donc le rang vaut 1).

Kaiser

Ok!

Si on prend par exemple avec et .
S est-elle une sous-variété ?

Alors je regarde la matrice jacobienne de qui est .

Le rang de cette matrice n'est pas 0, car ce n'est pas la matrice nulle. Donc le rang est soit 1, soit 2.
Dans la matrice, en faisant la première ligne plus la seconde on retombe sur la matrice , qui est de rang 1 ?

Je ne sais plus faire le rang d'une matrice !

oui, cette matrice est de rang 1 car S est réduit au point (0,0).

Kaiser

Oui, en plus !
Dans ce cas, la matrice devient qui est donc de rang 1. Mon exemple n'est pas bon, je voulais l'inverse : quelque chose qui ne soit pas une sous-variété et dans lequel S est défini avec plusieurs application, par exemple !

Tu vois quelque chose ? Qui puisse en même temps me refaire travailler les calculs de rang de matrice!

Pour trouver le rang d'une matrice, on utilise la méthode du pivot de Gauss en transformant la matrice de départ grâce à des opérations élémentaires sur les lignes (transvections, permutations, dilatations) pour obtenir une matrice à aspect triangulaire. On obtient alors le rang en comptant le nombres de lignes non nulles.

Kaiser

désolé, je n'ai pas d'exemple en tête.
De plus, je pense que je vais aller

Kaiser

Par exemple , et .

S toujours défini de la même manière.
Alors je calcule le jacobien de qui est :



Et ici, je ne vois pas les opérations que l'on peut faire pour trouver un rang < 3 !

Ok kaiser !
Merci encore !
Bonne nuit !

merci, bonne nuit à toi aussi !
juste en passant : ici aussi, S est réduit à un point : (0,0,0).

Kaiser

Arf oui, c'est vrai :/
Je n'arrive pas à trouver quelque chose qui ne soit pas une sous-variété et qui fasse intervenir plusieurs fonctions.

Tiens:



Discute en fonction du réel a > 0.

Dans ma propositon, j'ai où f_j est une application de l'ouvert de dans .

Or dans ton exemple Camélia, je peux définir et . L'une démarre d'un ouvert de et l'autre d'un ouvert !

Que non!

Arf, oui c'est vrai !

Bref, je trouve la matrice jacobienne suivante : .

Il faut trouver le rang de cette matrice, ce que je ne sais plus faire Kaiser ma reparlé du pivot de Gauss pour trouver une matrice à aspect triangulaire. J'arrive à cette matrice, en faisant L1-L2 . Je ne vois pas comment arriver à une matrice triangulaire

En fait tu veux savoir si cette matrice est de rang 2 sur S. Il faut montrer que les deux lignes sont linéairement indépendantes, et pour ça il suffit de trouver un déterminant extrait non nul. Le mieux est d'écrire les 3 déterminants (formés de deux colonnes) et de voir s'ils peuvent s'annuler en même temps.

Alors je trouve soit , soit , soit . Donc pour les trois déterminants en question s'annulent !

YES! Reste à voir si (a,0,0) est ou n'est pas sur

Ah oui, eh bien je dirais que non, car (si !)

Nous avons raté un bout! En fait, les trois déterminants sont nuls pour TOUT point de la forme (x,0,0) et il peut y en avoir (c'est là que la discussion intervient)!

Ah oui :/
Et .

Par conséquent, n'est pas une sous-variété, si je ne me trompe pas !

Attention! J'avais pris a > 0 (pour simplifier). Pour l'instant, tout ce que tu peux affirmer est que si on est surs que EST une sous-variété de dimension 1. (une courbe, quoi!) Mais le fait que le théorème ne s'applique pas dans le cas a=1/2, ne prouve pas que ce n'en est pas une! Il se trouve qu'en effet, ce n'est pas une sous-variété... Tu essayes de voir pourquoi?

Je dois t'avouer que je suis un peu perdu ! On se place au point et , alors . C'est fou, je ne sais plus faire le rang d'une telle matrice !

C'est 1 ?

Oui, bien sur c'est 1. Comme ce n'est pas 2, le théorème ne s'applique pas! mais personne n'a jamais dit que ça garanti que ce n'est pas une sous-variété.

Regarde un cas idiot: dans la droite d'équation x=y qui bien sur est une sous-variété. Si j'avais eu l'idée baroque de la définir par l'équation le théorème ne s'applique pas au point (0,0).

Pourquoi le théorème s'applique si c'est 2

On est dans le cas n=3, p=2. Ton énoncé (hier 23:44) dit bien que si les p lignes sont linéairement indépendantes, c'est OK. Ici, si l'un des trois déterminants est non nul, c'est bien de rang 2 ce qui veut dire que les lignes sont indépendantes.

Ah oui, je vois mieux. Donc, si , le théorème s'applique directement pour dire que c'est une sous-variété ? C'est bien ça ?

Absolument!

Là je vais m'en aller. Alors je te suggère d'interpréter la chose. C'est l'intersection de la sphère unité avec un cylindre d'axe vertical sur le cercle du plan xOy de centre (a,0) et de rayon a. Si a < 1/2, le cylindre découpe 2 "ronds" sur la sphère. Si a > 1/2, il n'y en a qu'un. Pour a=1/2, ça ressemble à un 8 dessiné sur la sphère. C'est dans ce cas qu'il faut prouver que quelque chose cloche dans les définitions de sous-variété! Avec un bon logiciel de dessin, on arrive même à voir ce qui se passe quand a croit!

C'est le genre d'exercice que j'aime bien

Par contre, quelque chose qui me turlupine toujours c'est de dire la travail sur le rang de la matrice . Son rang est inférieur ou égal à . C'est donc soit 0, soit 1, soit 2.

Ce n'est pas 0 car ce n'est pas la matrice nulle (car a>0).
Reste à savoir si c'est 1 ou 2.

Alors la, y'a plusieurs techniques : pivot de gauss ou déterminant. Mais je dois avouer que à chaque fois je suis perdu

Merci Camélia !
J'espère que quelqu'un prendre le relai

salut

ta matrice a même rang que la matrice

x y z
a 0 0

en divisant par 2 et en remplaçant L2 par L1-L2

donc si y ou z n'est pas nul elle est de rang 2 (tes 2 lignes sont indépendantes)
si y=z=0 elle est de rang 1
et ce elle n'est pas de rang 0 car a>0

le rang c'est la dimension de l'image de ton application linéaire représentée par ta matrice....

Euh, L1-L2 ça donne pour moi, après division par 2, x-(x-a)=a, puis y-y=0 ET 0-z=-z. Donc au final même rang que la matrice suivante :

non

Oui, en faisant on trouve bien ce que tu dis.

Comme a est non nul, le rang est au amoins 1. Si y=z=0, le rang est 1. Si c'est deux (les deux premières colonnes), si y=0 et le détermoinant de la première et la troisième colonne vaut -z(x+a) et est non nul, donc rang 2 aussi. Seul cas à étudier: (x,0,0).

Remarque: en fait ça revient exactement au même que de regarder les trois déterminants, comme je le proposais depuis le début!

Après avoir fait une petite mise à jour sur les rangs de matrice :

je trouve que la matrice a même rang que la matrice

si on considère et , reste à savoir si la famille est libre.

donc ici je me retrouve avec et qui me donne plein de sous-cas à traiter différemment ! Et je ne vois pas le lien avec le calcul de déterminant de Camélia, un peu plus haut.