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Niveau Licence Maths 1e ann
Statistiques mathématiques : Estimation de m (échantillon)
Posté par YlangYlang
Bonjour,
Dans le cadre d'un cours de statistiques mathématiques, il nous est demandé de faire un exercic d'estimation d'une variable.
Il y a 4 questions, et je bloque uniquement sur la dernière, que je vais vous exposer (je ne vois pas quelle méthode utiliser).
Voici l'énoncé :
Une machine produit des tiges dont la longueur X suit une loi normale N(m,σ2)
m est inconnu et σ2 = 0.02.
Le client de cette entreprise reçoit 10000 tiges et veut estimer m à partir d'un échantillon aléatoire de N tiges tirées au hasard le lot de 10000 tiges. Les Xi sont indépendamment distribuées.
Après avoir posé diverses questions sur des intervalles de confiance, sur des estimateurs biaisés, convergents, etc...il nous est posé la question suivante :
On sait que la longueur des tiges doit être comprise entre 23.60 et 23.70 (sinon le client n'en voudra pas). L'entreprise veut donc déterminer m qui garantit une proportion maximale de tiges viables.
On nous demande la valeur qu'il faut donner à m pour que la proportion des tiges viables soit maximale.
Et là je ne vois vraiment pas quoi utiliser. J'ai essayé le maximum de vraisemblance, j'ai essayé de chercher un intervalle de confiance avec 100% de confiance (même si je trouve la démarche en soit bizarre)...comme ça n'était pas concluant j'ai essayé avec un intervalle de confiance à 99% en supposant que X barre = 23.63 (dans une question précédente, il est question d'application nunérique avec ce X barre).
Mais en réalité ça n'a pas de sens de procéder ainsi parce que c'est X barre qu'on cherche et pas vraiment l'intervalle de confiance, puisqu'on l'a déjà (m compris entre 23.60 et 23.70) !!
Quelqu'un m'a dit qu'il fallait dériver la fonction de répartition par rapport à m et et poser cette dérivée = 0. Mais j'ai là aussi quelque problèmes pour démarrer les calculs....
Pourriez-vous m'indiquer la démarche à suivre ??
Je vous en remercie par avance.
YlangYlang
Je ne suis pas du tout un expert en stats, mais... je ne vois pas où est le problème si je ne me trompe pas dans la lecture de l'énoncé.
1) 
² est fixé, donc son influence sur la réponse cherchée est accessoire, voire nulle.
2) apparemment, on ne cherche pas à mesurer m mais à déterminer la valeur que m devrait avoir pour minimiser le rejet.
3) m doit être compris entre 23,6 et 23,7
Intuitivement, je dirai que, s'il y a un minimum, il ne peut être QUE à l'une des bornes (23,6 ou 23,7) ou au milieu des bornes (par considération de l'indépendance de la production vis à vis de la valeur de m).
Comme çà ne peut pas être l'une des bornes (sinon la moitié de la production serait à jeter), la réponse est m=23,65
Honnêtement, çà me paraît tellement trivial que je dois commettre une ENORME erreur, mais je n'ai pas trouvé laquelle.
A suivre
bonsoir
je pense qu'il faut prendre pour valeur de m le milieu du segment [23.60;23.70]soit 23.65
il est clair que m
[23.60;23.70]
on veut G (m)=p(23.60<X<23.70)=p(
<T<
)maximum où=(23.60-m)/0, =(23.70-m)/0 et T la loi normale centrée et réduite
G(m)=
()-()
ce maximum est atteint pour G'(m)=0
G'(m)=-
G'(m)=0
-=0m=23.65
sauf erreur
Merci !
C'est exactement comme ca que je voyais le calcul à réaliser, mais j'avais du mal à le formaliser, à visualiser la méthode à suivre (notamment : je n'ai pas pensé à centrer et à réduire !).
Merci beaucoup niparg.
YlangYlang
Bonjour,
Je suis en train de rédiger la réponse à la question en essayant de détailler et de justifier au maximum les résultats.
Je tombe alors sur un problème.
Je vous l'expose :
On veut P(23.60 < X < 23.70) = G(m)
Posons T=
Alors P(23.60 < X < 23.70) = < T <
)
On pose ,
On sait qu'une fonction de repartition P(X< r) =
Donc
G(m) =
donc G'(m) = .... et là je ne vois pas pourquoi quand on dérive on passe à ce qu'a trouvé niparg.
Le n'apparaît dans la dérivée alors que le
et le
apparaîssent.
Pourquoi ?
Merci par avance pour votre aide.
YlangYlang
En fait en réflêchissant, je pense que ça vient du fait qu'en - l'infini l'exponentielle tend vers 0 non ?
Merci
YlangYlang
Rebonjour,
J'ai oublié de vous poser une autre question sur le résultat.
Vous avez dit :
=0 ce qui donne m=23.65
Pourquoi faut-il retenir cette partie-là de l'équation ?
Merci par avance.
YlangYlang
en fait ici vous avez
donc
comme , le résultat que j'ai donné pour G'(m) est à multiplier par ce nombre ,ce qui ne change rien au résultat